分支限界法01揹包問題 01揹包問題

1.01揹包問題的描述

有n個不可分割的物品，它們有各自的重量和價值，現有固定容量的揹包，選擇把哪些物品放入揹包可以讓揹包中物品的價值最大。

2.錯覺

按照價值和重量的比值(價效比)進行排序，依次嘗試放入直到放不進揹包為止。但是細想思考一下就能發現，這個貪心演算法是有問題的，看下面乙個例子。揹包容量10kg，有3物品：，，。如果使用貪心演算法，得出如下圖的結果，這顯然不行。

3.正確的解法

3.1 簡單粗暴的方式:

把每種可能性都嘗試一次。有n個物品，每個物品有兩種選擇(放入揹包，不放入揹包)。一共有2的n次方種可能。每種可能計算出總重量和總價值，在滿足揹包重量的可能情況中選擇出價值最大的。

3.2 問題分解/動態規劃：

3.2.1 動態規劃的基本思路：

動態規劃的基本思想是將待求解的問題分解成若干子問題，先求解子問題，然後從子問題的解得到原問題的解。我們可以用乙個**來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以後是否被用到，只要它被計算過，就將其結果填入**中。這就是動態規劃法的基本思路。

3.2.2 使用動態規劃的思路進行思考：

n個物品，編號分別從1到n(無需排序)。

1.處理第乙個物品，處理的過程很簡單，把揹包容量是0到揹包總量的情況都計算出揹包最大能容納下的價值。

2.考慮怎麼在已經存在了部分解的情況下繼續找出最大價值。處理2到n物品時，情況類似。都是基於已經有部分解的情況下進行處理。把當前處理的物品標記為物品i。下面分析i是怎麼處理的，然後讓i從2到n依次的進行處理。處理第i個物品有兩種情況(和處理物品1時情況一樣)：

a.揹包放不下物品i (揹包的總容量，而不是剩餘空間)，i最優解和i-1的最優解一樣

b.揹包放得下物品i(分兩種情況)：

b.1.不把i放入揹包，價值和i-1一樣

b.2.把i放入揹包，在i-1的揹包問題解中，去除i的重量，然後把i加進去，

對b中的兩種情況分別進行計算，在兩者中選出大的那個值，f[i，j] = max。(注：j是揹包的容量，f[i,j]是揹包容量為j處理到i物品時的最大價值，wi時i物品的重量，pi時i物品的價值)

3.2.3 做個**試試吧：

4.延伸一下

4.1 多重揹包問題

和01揹包問題的區別是，第i件物品有 n[i]件(不止一件)。這個問題可以通過轉換變成01揹包來處理。把物品i的多件物品當作不同的物品進行處理。從新編號成每個物品都有唯一的編號，就變成了01揹包問題。

4.2 完全揹包問題，

和01揹包類似，不同的是每件物品數量無限。把他轉換成多重揹包進行處理。把i物品的數量從無限轉換成有限。轉換的方式為揹包只放i物品能放下幾個，這是物品i的件數。

5.思考

通過最後的**，是否能看出來，哪件物品被選中了。如果能看出來說明理解了。

6.後續

可能會講一下紅黑樹是怎麼調節平衡的，linux的夥伴系統，或者是矩陣運算規則。