已知太空飛行器在中心天體o附近的位置向量和速度向量，如何求解該太空飛行器的軌道？如果是一枚彈道飛彈，如何**落點？解決這些問題，實質都是求解太空飛行器的軌道。本文將利用克卜勒第二定律推導太空飛行器的軌道引數，並對軌道的一元二次方程解的形式進行討論，解釋不同的解情況意味著什麼。最後，利用東方紅一號衛星的軌道資料進行了驗證。
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已知太空飛行器在中心天體o附近的位置向量和速度向量，如何求解該太空飛行器的軌道？
假設僅有乙個中心天體，其質量遠大於太空飛行器質量。當航天速度小於中心天體的第二宇宙速度時，則其被中心天體捕獲，軌道為橢圓形，中心天體在橢圓的乙個焦點上。對於橢圓軌道而言，只要我們確定了近地點pe（perigee）和遠地點ap（apogee）距離中心天體的距離，就能得到整個橢圓軌道的方程。
根據克卜勒第二定律，行星與中心天體連線，在相同時間內掃過的面積相等。假設太空飛行器初始位置是a，速度方向是v，在t時間內執行到了b點，即掃過的面積為oab。需要注意的是，由於ab段是弧線，因此oab是乙個不規則形狀。我們假設時間t是乙個很短的時間dt，則可以將oab近似為乙個三角形。則克卜勒第二定律可以表示為：三角形oab的面積隨時間的變化速率為乙個定值。
用公式來表示則為
如右圖所示，這個三角形的oa和ob分別為初始時的位置向量r和末位置向量r'，ab為速度v的方向。在dt的時間內，ab段近似為直線，長度為vdt。三角形oab的面積可以表示為底邊oa乘b點的高度。已知初始位置向量r和速度向量的夾角，則面積可表示為
面積變化速率為常數，則
為了求得橢圓軌道，我們只需要知道o到pe點和ap點的距離，而pe點和ap點處速度向量與位置向量垂直，夾角為90度。我們任選pe點或ap點，設定其速度為v距離為r。根據題目，我們已知軌道上某一點a處的速度和位置向量的大小和方向，假設大小和夾角分別為，為滿足克卜勒第二定律，則
上面這個形式是不是看著很眼熟。這個方程有兩個變數，分別是r和v，因此我們還需要乙個方程。其實，他就是角動量守恆的變型。在這個引力系中，太空飛行器的角動量守恆。角動量的表示是
，其中r表示位矢，p表示動量，中間那個乘號是向量的叉乘，而叉乘也正好對應了上式中夾角的正弦項。
因此，克卜勒第二定律，實際是角動量守恆的幾何解釋。
在質量為m的單個中心天體的引力系中，滿足機械能守恆，即動能與勢能之和為0。我們以無窮遠處為零勢能點，則距離為r，速度為v處，質量為m的太空飛行器機械能為
其中g為引力常數。為了保證太空飛行器被中心天體束縛，在接近無窮遠處速度一定要為零，否則就逃逸。因此上式中的const常數在太空飛行器**獲的情況下恒為負數。
根據機械能守恆方程，我們可以建立第二個等式
至此，我們得到了兩個方程
將（2）式兩邊同時乘r的平方，將（1）式帶入，可以得到關於r的一元二次方程
我們可以很容易地利用公式得到這個一元二次方程的解
當根號不為零時，方程有兩個解，分別對應著近地點pe和遠地點ap的軌道高度。當根號為零時，表示兩個解相等，這意味著軌道為圓軌道。那麼，這個根號內部是否有可能小於零呢？
接下來，我們重點分析一下根號內部的情況。將上面的兩個常數帶入，我們進一步化簡根號的內部
由此可知，根號內部是乙個平方項，滿足大於等於0，不會小於零。我們發現這樣的方程不會出現無解情況，這似乎超出了我們的預期：我們可能會認為無解應該對應著逃逸軌道。其實這也很好理解，我們在計算軌道時已經假定是橢圓軌道而進行推導，逃逸軌道屬於雙曲線軌道，並不符合假定。所以我們的橢圓軌道計算方程一直是有解的。
為什麼這兩個解分別對應了近地點和遠地點。我們可以利用經驗來簡單地解釋一下。首先，上述的解變為
接下來，我們來想辦法去掉絕對值的符號。
前面提到，常數c2是小於零的，因此
至此，我們僅能知道絕對值內最大值，無法知道下限是否能小於0。如果我們換一種方式來理解絕對值內部的情況，將會變得很有意思
這個式子等於零的條件是軌道為正圓，在正圓軌道的任意一點，如果我們加速（減速），都會導致遠地點速度變小，近地點速度變大，進入乙個更大（更小）的橢圓軌道。從而產生乙個大v乙個小v兩個解，正好印證了大v會導致絕對值內部大於零，小v導致絕對值內部小於零。
我們選取我國發射的第一顆衛星——東方紅一號的軌道資料進行驗證。選取衛星處於遠地點附近的資料，軌道速度6.52km/s，軌道高度2035.04km，假設位置向量與速度向量夾角為90度。地球半徑帶入6371km，地球質量取5.965e24kg，萬有引力常量取6.67e-11。計算得到c1為5.48e10，c2為-2.60748e7，則ap點和pe點分別為8422km和6836km，ap點和pe點的高度分別為2051km和465km。實際衛星的ap和pe點高度分別為2035km和438km。我們的方程計算誤差小於30km。考慮到實際衛星飛行是多體引力問題，而且低軌會有大氣減速效應，這樣的誤差是可以接受的。
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