我們還是從乙個題目看起：
n✖7 所得的積的後四位為2020，n最小是多少，其中n為正整數。
這題應該怎麼解算，大家可以自己先思考一下。
我們先來一起觀察一下能被7整除的數，看看能不能發現什麼特點：
首先2位數：
14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98
首先觀察個位數，看看有沒有什麼規律可尋，從0到9這些數字全有，數字上沒有特殊性。
會不會像能被3整除的數一樣，個位+十位的和有特點呢？
你知道哪些數可以被3整除嗎
我們試一試個位+十位數得到什麼結果：
14, 1+4=5; 21, 2+1=3;28, 2+8=10;35, 3+5=8;42, 4+2=6;49, 4+9=13; 56, 5+6=11;63, 6+3=9;....我們再來試試十位數-個位數能不能發現什麼規律：
14, 1-4=-3;21, 2-1=1;28, 2-8=-6;35, 3-5=-2;42, 4-2=2;49, 4-9=-5;56, 5-6=-1;63, 6-3=3;70, 7-0=7;77, 7-7=0;84, 8-4=4;91, 9-1=;除了負數比較多，表面上看還是沒有什麼特點。
如果我們拿這次得到的結果再減去個位數看一看：
14, 1-4=-3, -3-4=-7;21, 2-1=1, 1-1=0;28, 2-8=-6, -6-8=-14;35, 3-5=-2, -2-5=-7;42, 4-2=2, 2-2=0;49, 4-9=-5, -5-9=-14;56, 5-6=-1, -1-6=-7;63, 6-3=3, 3-3=0;70, 7-0=7, 7-0=7;77, 7-7=0, 0-7=-7;84, 8-4=4, 4-4=0;91, 9-1=8, 8-1=7;98, 9-8=1, 1-8=-7;我們先大膽推論一下：
對於兩位數來說，能被7整除的數的特點是，十位數-個位數-個位數，即十位數-2倍的個位數可以被7整除。
我們再來看看能被7整除的三位數有什麼特點：
161=7x23，238=7x34，315=7x45，392=7x56， 469=7x67
我們用上面同樣的方法試一下：
首先十位-2倍的個位：
161，6-1x2=4；238，3-8x2=-13；315，1-5x2=-9；392，9-2x2=5；469，6-9x2=-13；161, 16-1x2=14=7x2;238, 23-8x2=7=7x1;315, 31-5x2=21=7x3;392, 39-2x2=35=7x5;469, 46-9x2=28=7x4;於是我們根據2位數和3位數的特點，大膽的推測乙個結論：
能被7整除的數符合下面的特點：
把除了個位數的部分看成乙個數，用這個數減去2倍的個位數所得的結果能被7整除，那麼這個數一定能被7整除。如果所得的數不能被7整除，那麼這個數不能被7整除。
下面我們來證明一下是不是這樣的:
兩位數的情況：
假設a, 為乙個任意2位數, 個位數為n,十位數為m.
則a=10m+n，我們根據推測, 可以先分解出:m-2n
⇒a=10m+n
=(9m+3n)+m-2n
=(8m+5n)+m-2n+m-2n
=(7m+7n)+m-2n+m-2n+m-2n
=7(m+n)+3(m-2n)
可以看出7(m+n)可以被7整除。
於是知:3(m-2n)能被7整除是a能被7整除的充要條件。
由於3為質數，所以(m-2n)能被7整除是a能被7整除的充要條件。
即：m-2n若能被7整除，則a能被7整除，若m-2n不能被7整除，則a不能被7整除。
反之，若a能被7整除，則m-2n能被7整除，若a不能被7整除，則m-2n不能被7整除。
2位數符合我們的結論。
接下來我們推廣到3位數：
假設a 為乙個任意的3位數, 個位數為n,去掉個位數所得的數為m.
則同樣a=10m+n，我們根據推測, 可以先分解出:m-2n
根據2位數時的推廣結果得：
a=7(m+n)+3(m-2n)
於是3位數的結果與2位數相同。
我們再推廣到任意的正整數：
假設a 為乙個任意正整數, 個位數為n,去掉個位數所得的數為m.
同樣a可以表示為：10m+n，
於是可以得到與2位數和3位數同樣的結論。
最後我們得出結論：
判斷乙個數是能被7整除的充要條件是：
除去個位數所得到新的數-2倍的個位數能夠被7整除。
我們看下面的例子：
判斷下列哪些數是7的倍數：
a. 47376 b. 47048 c. 4720 d. 47240
選項a：去掉個位數所得數為4737-6x2=4725，得到的數是否能被7整除，還是看不出來，沒事我們再繼續把4725去掉個位數472-5x2=462，還是看不出來，再繼續把462去掉個位數46-2x2=42=7x6，可以被7整除了，這說明a. 47376可以被7整除，事實上：47376=7x6768
選項b：47048去掉個位數為4704-8x2=4688，4688去掉個位數468-8x2=452，452去掉個位數為45-2x2=41，顯然41不能被7整除，這說明b. 47048不能被7整除，事實上：47048➗7=6 721.1428571429.
剩下的兩個選項大家可以自己試一試。
n✖7 所得的積的後四位為2020，n最小是多少，其中n為正整數
假設n✖7的積為a，m為a去掉2020所得的新數。這題就轉換成了求最小的a是多少。因為a明顯是7的倍數，根據上面的7的倍數的特點：我們把a表示為m2020，則去掉個位數m202-0x2=m202，繼續去掉個位數：m20-2x2=m16m16去掉個位數m1-6x2,我們假設p=m-2可以推出：m1-6x2=p9由於a能被7整除，所以p9能被7整除。可以得出p9的最小值為49，即p的最小值為4，從而的到m的最小值為6，即a的最小值為62020=8860x7，從而得到最小的n為8860.
7的整除特徵 三位一截 最全數的整除特徵
整除 對於整數a和不為零的整數b，若存在整數m,使得a mb,則稱a能被b整除或者b整除a。此時也稱a是b的倍數或b是a的約數，記為 b a 被2整除數的特徵 若乙個整數的個位是偶數，即個位是0，2，4，6，8，則該數能被2整除。推廣 若乙個整數的後兩位能被4整除，則該整數能被4整除 若乙個整數的後...
能被某些數整除的數的特徵
性質1 如果數a b都能被c整除，那麼它們的和 a b 或差 a b 也能被c整除。性質2 幾個數相乘，如果其中有乙個因數能被某乙個數整除，那麼它們的積也能被這個數整除。能被2整除的數，個位上的數能被2整除 偶數都能被2整除 那麼這個數能被2整除 能被3整除的數，各個數字上的數字和能被3整除，那麼這...
能被某些數整除的數的特徵
性質1 如果數a b都能被c整除，那麼它們的和 a b 或差 a b 也能被c整除。性質2 幾個數相乘，如果其中有乙個因數能被某乙個數整除，那麼它們的積也能被這個數整除。能被2整除的數，個位上的數能被2整除 偶數都能被2整除 那麼這個數能被2整除 能被3整除的數，各個數字上的數字和能被3整除，那麼這...