因為上週六是期中考試, 周二的四節課都在講評期中試卷. 以前最多用兩節課, 這一次用的時間比較長, 主要還是考試暴露的問題比較多: 幾乎所有問題都能在課上的例題、書後作業或習題課做的練習中有原型, 但是奇怪的錯誤層出不窮, 哪怕是課堂上用過好幾次也強調過好幾次的. 期中過後, 之前講過的矩陣乘法估計也忘了不少, 上週餘下的兩節課就舉了一些矩陣乘法運算的例子.
lie 括號
矩陣運算是乙個全新的內容, 對初學者而言比較難懂, 但這是乙個寶藏, 既可為以前的數學提供全新的簡潔的觀點, 也為現代數學的發展提供了源源不斷的資源, 更為其他學科的發展提供了強有力的工具. 當然, 這一切都基於我們對矩陣的熟練程度.首先我們看一些比較簡單但又有一定背景的矩陣運算.問題4.37對下列矩陣 , 求 , 和 .(1) , ;(2) , ;
(稱為 lie 括號), 則規律性更明顯: 這三道題中的運算結果很像! 實際上, 這與後續代數學中的 lie 代數有關. 之前曾經提到的如下行列式:
現在我們可以看出來, 上述行列式實際上就是 , 這個觀察是邁向這個行列式的計算的重要一步.
類似地, 我們有如下問題.問題4.38設 , , .(1) 試計算 , 和 .(2) 設
試求算完了注意觀察一下, 大概能看出上述運算與向量的外積有相通之處.問題4.39設 為三階實反對稱矩陣的全體, 考慮對映 ,
則向量 與 的外積在 下的像為:
也就是說, 我們用矩陣乘法實現了向量外積. 另外, 向量外積滿足反對稱性和 jacobi 恒等式, 我們也可以用矩陣乘法來驗證這些.
對於一般的反對稱矩陣, 我們也有如下特別的問題.問題4.40設 為 階反對稱矩陣的全體, 則對任意 , 也是反對稱的, 也就是說, 反對稱矩陣的全體在 lie 括號運算下是封閉的.說到反對稱矩陣, 如下的問題值得算一算.問題4.41設
求 , 和 .
四元數
首先考慮如下問題.問題4.42設 , , .(1) 求 , 且當 時求 ;(2) 求 , , .這個問題揭示了乙個神奇的東西:集合是能作加、減、乘、除四則運算的!實際上我們有問題4.43我們有一一對應:
試驗證上述對應保持加、減、乘、除四則運算.
這個問題實際上告訴了我們: 複數運算是可以用矩陣乘法來實現的. 而矩陣乘法能做的事情原不僅於此.問題4.44試對下列矩陣 , 求 , , 及 , 其中 .
上述問題的結論非常相似, 預示著它們是有關聯的. 特別地, 對於問題 (3), 與 的結果不一樣. 注意到在 (1), (2) 中, , 這三者就有了乙個很好的統一. 它們還有什麼更深刻的聯絡嗎? 我們需要從矩陣運算上來考慮.問題4.45(1) 作為 的子集, 對於矩陣的加、減、乘和求逆(非零矩陣)都封閉, 數乘(乘以實數)也封閉;(2) 作為 的子集, 對於矩陣加、減並不封閉, 但對於乘法和非零矩陣求逆封閉;(3) 作為 的子集, 對於矩陣的加、減、乘和求逆(非零矩陣)都封閉, 數乘(乘以複數)不封閉, 但是用實數作數乘是封閉的.進一步, 它們之間的運算是有聯絡的.問題4.46到 有乙個自然的對映, 且這個對映保持矩陣乘法和求逆, 不過這個對映不是一一對應(實際上是滿射, 不是單射).因此, 與 有區別.問題4.47與 有乙個自然的一一對應 , 且這個對應保持矩陣的加、減、乘和求逆, 並且保持數乘(乘以實數), 即對於任意 有
由此可以看出, 和 本質上沒有什麼區別. 如果我們把 中的矩陣分成四塊似乎更清楚一點:
利用問題4.42, 上面的四個小塊分別對應了四個複數: , , 和 . 這樣就得到了 中的矩陣.
進一步, , 與 有乙個自然的一一對應 , 這個對應是保持加法和數乘的, 而 上並沒有乘法. 不過這沒有關係, 我們可以利用這個對應 , 把 或 中的乘法運算挪到 上.問題4.48設
這些元素能表示出所在集合中的所有元素, 它們的運算規律為
由此可以看出來, 與虛數單位 很像, 對於四元數
稱 為其實部, 為虛部.
四元數有很多神奇的性質, 比如四元數乘法蘊含了向量的內積與外積.問題4.49設
的實部與虛部分別代表什麼?
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