平面橢圓，乙個神奇的圖形。小時候的我，覺得橢圓就是乙個普普通通的圖形。直到我上了高中，接觸了圓錐曲線，經歷了一番摧殘之後，我覺得我似乎認清了橢圓的真面目。而現在，我又碰到了橢圓積分，才發現我真的太天真了......所以，我現在對橢圓充滿敬畏之情，不知道何時又會碰到與之有關的更為高深的知識。下面我們就從橢圓的周長開始，慢慢揭開橢圓積分的神秘面紗......
問題的引入：橢圓的周長
如果我沒記錯的話求平面曲線的弧長應該是導數的基本應用之一吧。首先，我們來回憶一下計算平面曲線弧長的公式。
設一連續可微的平面曲線
我們取這個曲線
上的一段微元並記作
。有勾股定理可得：
而：帶入 的表示式有：
兩邊同時積分可得：
這就是有關引數方程的弧長公式了。我們先小試牛刀，計算一下圓的周長。
我們知道，圓的標準引數方程是（其中
為圓的半徑）：
則：代入弧長公式有：
一切過程都十分順利，那我們再來看看橢圓：
橢圓的標準引數方程大家肯定也不會陌生（其中
為半長軸長，
為半短軸長）：
我們僅計算橢圓在第一象限的部分的弧長，之後在乘以
就好了。但是第一象限部分的引數的取值範圍會有變化，即在第一象限中
。引數方程的導數為：
代入到弧長公式中得到：
直到現在，仍一切順利，我們在化簡一下看看：
......嗯？這玩意怎麼處理？到這一步會發現根號完全去不掉，原函式也找不到。到此，本文結束。
嘿嘿，開個玩笑。聰明的數學家們是不可能就此罷休的，於是他們又開始將上面的式子進一步化簡：
其中：
叫做橢圓的
離心率。
式還可做變數代換：
則：則有變數代換後的積分：
還可以寫的更有強迫症一點：
到現在，橢圓積分的雛形已經出現了。
2. 橢圓積分的誕生
經過 等數學家的研究，橢圓積分的知識體系漸漸完善，直到
的出現徹底徹底完善了橢圓積分的知識體系。
我們先觀察
式，這個式子是橢圓周長的積分公式，而它可以被拆成兩部分：
我們將拆開後的第一部分拿出來，並去掉積分上下限和係數得到不定積分：
再將第二部分拿出來，去掉係數和積分上下限得到另乙個不定積分：
另外還有個乙個不定積分：
這三個不定積分便是
所總結得到的。若將上面的三個不定積分做變數代換：
則：（這個我不知道怎麼來的...）
上面的
分別叫做
第一類，第二類，第三類橢圓積分。
之後
又定義了三類
橢圓積分，是將
橢圓積分裡面的
換回 得到的，即：
引數 叫做橢圓積分的模。
特別的，當
或 時，這三類橢圓積分都稱為
完全橢圓積分，否則稱為不完全橢圓積分，即：
完全 橢圓積分：
完全 橢圓積分：
3. 橢圓的周長公式
橢圓並非沒有周長，只不過沒有精確值罷了。對於其周長公式，是乙個無窮級數的形式：
其中：
為半長軸長，
為橢圓的離心率。這個級數是由第二類橢圓積分展開所得到的。（可惜我不會展開）。可見，當離心率為零時，級數退化為圓的周長公式。
當然，橢圓的周長公式有幾個近似公式：
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