偶爾無聊，生搬硬湊下組合序列生成的四種寫法。
組合，combination，或者說n choose k的問題。一般在命令式程式語言中，採用生成器的方式來完成。大體就是儲存狀態，按序列生成。這種方式的標準方式，參考c++的algorithm的庫。在python中，使用itertools生成出來。原理都是相似的。
在函式式程式語言中，則有著不同的思路。函式式程式語言中，不提倡使用狀態這種方式。或者說通過遞迴呼叫+延遲計算的方式，綜合起來的特性，得到數學結構上更為優美的解法。
我們約定組合序列生成的函式為comb :: int -> [a] -> a, comb k xs,其中k為選擇個數，xs為待選取列表。生成結果為乙個列表的列表。在數學表示式中，我們按照中國約定俗稱的c(n,k),表示從n個中選取k個。注意下面的**示例，可以左右撥動。
我們知道關於組合有一些基本的公式。根據這些公式，其實組合問題，實在逐步遞降的(待組合的列表更短，或者選擇個數k變小)。而以下的種種寫法，其實都是由背後的公式推演出來的。
比如我們有公式c(n+1,k) = c(n,k-1) + c(n,k)
這個公式的含義為從n+1個中選取k個，等價於固定選擇女朋友，從剩餘n中選擇k-1個；或者直接選擇不帶女朋友，從剩餘n中選擇k個。
也就是組合分成兩種情況，選擇了第乙個，或者丟棄第乙個的。所有結果，等於這二者之和。這種方式，兩個分支中，都縮減了問題的規模。故而函式遞迴是可以窮盡的。
這個公式理解最為普遍。大名鼎鼎的楊輝三角，就是按照這個公式來進行推演的。
按照這種理解，我們有haskell**：
comb k (x:xs) = map (x:) (comb (k - 1) xs)) ++ (comb k xs)這個公式的含義為在n+1個中選擇k+1個，等於以下情況之和：
按照這個公式，我們利用haskell中的tails函式。這個函式生成序列的每個字尾。
tails [0..3][[0,1,2,3],[1,2,3],[2,3],[3],]comb k xs = concatmap f (tails xs) where f = f (t:ts) = map (t:) (comb (k - 1) ts)這種方式的最大的好處是，直接將m+n的問題量級降低到其一半水平。用這種方式，理論上將問題從o(n)的方式，可以轉換為o(logn)。因為我們生成的是全序列，這種差異體現不出來。
這裡我們要注意列表相乘運算，也就是m中選擇的i中情況，與n中選擇k-i中情況，是可以交叉配對的。也就是第乙個結果中的任一乙個列表，可以和後乙個結果中的任乙個列表構成一組新的結果。更形象一點，就是我的選擇i種情況出來的a結果，與你的選擇k-i種情況出來的b結果，都可以組合在一起，然後形成選擇為k個物件的結果。這個結果的個數為a*b=ab。
這等價於排列組合的乘法原理，也等價於笛卡爾積的過程。按照haskell中的實現，我們直接利用liftm2，這個monad輔助函式實現了。
prod :: a -> a -> aprod xs ys = liftm2 (++) xs yscomb k xs = concatmap (\i -> prod (comb (k-i) hd) (comb i tl)) [0..k] where (hd, tl) = halve xs綜上，我們可以看到在函式式語言中，可以按照數學公式寫出非常優雅的**。而且因為其中的邏輯清晰，不需要關心更多細節的狀態問題，相對更容易做到bug-free。這種書寫**的方式，目前也在和其他程式設計正規化在相互融合。了解下，就當一起玩下吧。
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