對於樹的基本認識，我們很容易通過我們平常所見到的樹來理解：一棵樹，有乙個根，根往上又會分叉出大樹枝，大樹枝又會分叉出小樹枝，以此往復，直到最後是葉子。而作為資料結構的樹也是類似的，只不過我們通常將它倒著畫。樹的應用也相當廣泛，例如在檔案系統，資料庫索引中的應用等。本文會對樹的基本概念做介紹，但重點介紹二叉查詢樹。
樹是一種無向圖，其中任意兩個節點間存在唯一一條路徑。樹常常用一種遞迴的方式來定義，它是一種資料結構，要麼為空，要麼具有乙個值並且有零個或多個孩子，而每個孩子又是樹。
例如下圖一棵樹，任意兩個節點間只有一條路徑可到達：
圖一：樹
但下圖並非樹：
圖二：非樹
因為從節點root到節點b並非只有一條路徑。
我們可能已經聽過很多樹的名詞，例如，紅黑樹，霍夫曼樹，b樹，b+樹，平衡二叉樹等等，而本文將要介紹二叉查詢樹，很多其他樹都是它的變種，不像鍊錶的線性訪問，二叉查詢樹的大部分操作時間複雜度都為o(logn)。
在學習二叉查詢樹之前，必須要先了解一些名詞，我們借助下面的圖來了解，如果已經清楚了可以跳過此節。
介紹樹的基本名詞：
圖三：樹
圖四：二叉樹
二叉樹是一種樹的特殊形式，它的每個節點最多兩個孩子節點，分別為左孩子和右孩子。而二叉查詢樹在此基礎上，還有乙個特點，就是每個節點比它左子樹的節點值都要大，而比右子樹的節點值都要小。
二叉查詢樹常見操作有插入，查詢，刪除以及遍歷。而實際上二叉查詢樹既可以使用陣列來實現，也可以使用鍊錶，本文採用鍊錶來實現。另外本文也排除了兩個節點存在相同值的情況。
節點定義
我們使用乙個結構體來定義它：
typedef struct tree_node
treenode;
我們以資料 10,5,19，4,8，13,24為例，來看看二叉查詢樹的插入流程是怎樣的。
最終完成了所有元素的插入。而觀察插入後的二叉樹可以發現，每個節點都要比左子樹的值大，而比右子樹的值小。另外，我們在插入的時候不斷地與節點值比較，比它大，則將插入右子樹，而比它小，則將插入左子樹，因此這個過程非常容易用遞迴來實現。
/*將value插入到樹中*/
treenode *inserttree(elementtype value,treenode *tree)
else
}/*比當前節點小，則插入到左子樹*/
else if(value value)
/*比當前節點大，則插入到右子樹*/
else if(value > tree->value)
return tree;
}
實際上，我們在做插入操作的時候，已經在做查詢動作了，因為為了將乙個元素插入到正確的位置，我們需要從根節點開始，不斷比較其值和要插入(查詢)的值的大小，如果比該節點值小，則說明該值需要插入到左子樹，否則插入到右子樹，並且遞迴呼叫，最終找到插入的位置。
查詢的思路有點像二分查詢，我們知道根節點左子樹的值都比根節點值小，而右子樹的值都比根節點的值要大，以此遞迴呼叫，可以很容易找到：
/*查詢值為value的節點*/
treenode *findtree(elementtype value,treenode *tree)
/*從左子樹查詢*/
if(value value)
/*從右邊子樹查詢*/
else if(value > tree->value)
/*找到*/
else
return tree;
}
相對來說，刪除要比插入和查詢複雜很多。因為它需要考慮很多情況：
第一種情況很容易理解，我們來看第二種和第三種情況。
先看第三種情況，假如我們要從前面的二叉樹中刪除節點值為10的節點。首先我們可以找到節點值為10的節點的右子樹的最小值，為13，因此，將13代替節點值為10的節點值，而幸運的是，節點值為13的節點沒有右子樹，因此釋放根節點的記憶體，完成刪除操作。刪除前後如圖所示：
圖八：二叉查詢樹刪除1
再看第二種情況，假如此時要刪除值為19的節點，從圖中可知，它有乙個右兒子，因此刪除該節點後，需要將其父節點指向它的右兒子，刪除後如下圖：
二叉查詢樹刪除2
圖九：二叉查詢樹刪除2
總體來說，刪除操作並不是一次簡單的查詢就可以完成，甚至刪除會使得整個二叉樹變得非常不平衡，所以如果刪除次數不多，完全可以採用懶惰刪除，即當節點被刪除時，僅做乙個標記，表明它被刪除了，而不是真的從樹中移除，這樣雖然表面上浪費了一點空間，但是如果後面又要插入該元素值，則為新元素分配記憶體的開銷就免了。
根據上面的分析，**如下：
treenode *deletetree(elementtype value,treenode *tree)
/*比當前節點值小，從左子樹查詢並刪除*/
else if(value value)
/*比當前節點值大，從右子樹查詢並刪除*/
else if(value > tree->value)
/*等於當前節點值，並且當前節點有左右子樹*/
else if(null != tree->left && null != tree->right)
/*要刪除的節點只有乙個子節點或沒有子節點*/
else
return tree;
}
$ gcc -o binarysearchtree binarysearchtree.c
$ ./binarysearchtree
insert 10 to tree
insert 5 to tree
insert 19 to tree
insert 4 to tree
insert 8 to tree
insert 13 to tree
insert 24 to tree
find 13
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