條件極值與函式習題課
第十四、十五章 條件極值與隱函式習題課
一、重要內容
極值1)、無條件極值的計算和判斷
主要步驟：
i)、計算可疑點：駐點＋偏導數不存在的點。
ii)、判斷
a)、判斷可疑點為極值點，常用方法：
a)、定義法：計算，若存在某個，使
得在上恆成立，則為極小值點；若存在某個，使得在上恆成立，則為極大值點。
b)、利用題意和問題的實際背景判斷，此時，可疑點通常是唯一的。即若要求計算極大值或問題的實際背景要求存在極大值，則唯一的可疑點必是極大值點；即若要求計算極小值或問題的實際背景要求存在極小值，則唯一的可疑點必是極小值點。
c)、駐點處極值性質的二階導數判別法(二階微分法)。
通過的heisen矩陣h的正定或負定性判斷點的極值性質。
b)、判斷可疑點不是極值點，常用方法有：
a)、定義法：對任意的，確定一對點，使得
則，不是極值點。
b)、二階導數法：h為不定矩陣時，不是極值點。
2)、條件極值的計算與判斷
主要步驟：
i)、構造l-函式；
ii)、計算l-函式的駐點；
iii)、判斷，常用方法為二階微分法。
3)、隱函式極值的計算
4)、極值的應用
主要有 計算函式閉區域上的最值；證明多元不等式。
2、隱函式存在定理
要求：熟練掌握極值和條件極值的計算和應用，了解隱函式存在定理。
二、典型例題
例1、討論的極值。進一步研究沿任意直線在的極值性質。
解、先計算駐點。求解
得唯一駐點。
判斷。計算得，h=0，故二階導數法失效。(同樣，，因而不能確定對任意的(dx，dy)，都成立》0,二階微分法同樣失效。)用定義判斷。注意到
因而，對任意,取r充分小滿足，則 且，故不是極值點。
再考慮沿直線y=kx在的極值性質。轉化為無條件極值討論。
當k=0時，沿直線y=0, 函式z轉化為一元函式，因而為其極小值點，故對應的為函式z沿直線y=0的極小值點。
當時，沿直線y=kx，則，為駐點，進一步判斷為極小值點，因而，對應的為原函式z沿直線y=kx的極小值點。
注、事實上，在原點的任意鄰域內，通過曲線將鄰域分成曲線下面的部分、夾在兩條曲線之間的部分和曲線上面的部分，函式z在上下兩部分上取值為正，在曲線間的部分取值為負，而正取自使函式不同號的部分裡。當沿直線y=kx考慮時，由於當x充分小時，直線y=kx總在曲線的上方，因而，取不到使函式z取負值的點如，故是極值點。
注、結論表明：設為函式z的定義域內某一點，沿任一過直線，為函式z極值點，並不一定表明點就是函式z在其定義域內的極值點。
例2、計算z=f(x,y)=在由直線x+y=6及x軸、y軸所圍成的閉區域d上的極值和最值。
解、先計算d內的極值點。求解
的d內駐點。
(注、(0,y)、(4,0)也是駐點，但不在d內，而在d的邊界上。)
判斷。計算得，h=32，
故，為極大值點且對應的極大值為。
其次，計算邊界上的最值。
記d的邊界為 、、
。則，，計算得
最後，對內部極值和邊界值進行比較。比較內部極值和邊界值可知：函式z在d的內部有極大值，而在整個閉區域d上，函式的最大值為，最小值為f(4,2)=-64.
例3、設為正定矩陣，計算在上的最值。
解、在有界閉集 上連續，因而存在最大值點
和最小值點，故，最小值，又由正定性得。進一步計算如下：構造
得駐點方程組：
由於在d上必能達到最大值和最小值，故上述方程組必有解。和就是其兩個解。由(3)知：其解必為非零解，因而對(1)、(2)，必有
解得 ，
設為其一組解，則代入方程組且由 得
因而， 。即對應的一組解必滿足，因此，必有
例4、計算在下的最大值。
其中解、顯然，函式f>0，此時，f(x,y,z)與具有相同的單調性，故可以採用對數法。
記，構造l-函式
則，求解如下駐點方程組
得。又，計算得
故，在，因而在點達到極大值。
又，沿邊界x=0,y=0,z=0，都有，故所求最大值為。
注、注意掌握上述求極值的對數法。
例5、計算在條件下的最小值。
其中。解、構造l－函式，求解方程組
得唯一駐點。
由題意和駐點的唯一性，則在處達到最小值。
特別，當時，在下在處達到最小值，因而，成立不等式
注、利用題意和駐點的唯一性，不需進一步的判斷，可以直接給出唯一的駐點處的極值性質，這也是計算極值時應該掌握的技巧之一。
例7、證明：時成立不等式 。
證明、用極值理論證明不等式。記，，只需證明在d上成立 ，
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