最近在做心電相關的專案，由於微控制器的處理能力有限，在接收心電訊號之後需要對資料進行壓縮(其實是取一些特徵點)，然後後期再進行顯示。但是在手持arm上進行顯示的時候，通過這些殘缺的資料繪出心電圖形是很困難的，這就要進行插值處理，所以進行了一些插值演算法相關的研究，常用的插值演算法是拉格郎日插值和牛頓插值演算法，切比雪夫插值演算法。
一. 拉格朗日插值
拉格郎日的原理，下面這篇帖子寫的比較好，感興趣可以看一下，對於應用型達人來講，不必對原理過於糾結。
複雜的公式：
其中每個
為拉格朗日基本多項式(或稱插值基函式)，其表示式為：
拉格朗日基本多項式
的特點是在
上取值為1，在其它的點
上取值為0。
拉格郎日插值的本質就是通過一些離散的點**乙個函式，然後得到未知點所對應的函式值。很容易想到的就是n階多項式。
f(x) = a0*x^n+a1*x^(n-1)+……an
那我們求得係數就可以了。實際上，我們正是通過拉格朗日公式來解決這個問題，原理見上面貼子。
下面是使用該插值演算法時所遇到的問題：
1. 真實的心電訊號可能都是大於0的值。如果通過所有的離散點進行擬合，則從得到的擬合函式中所獲得的插值容易產生負值，一開始不理解，還以為是自己演算法問題，後來想想，為了使得到的函式穿過所有這些離散點，得到負值是完全有可能的。這就是常見的拉格朗日問題，當次數較高時，會出現數值不穩定的現象(龍格現象)。解決辦法就是分段低階插值。
2. 我改用了3點插值，3點插值也會出現負值，雖然頻率少了一些。因為3點其實構造的就算拋物線，當點的分布不均勻(2,3點離的很近)時，很容易會出現負值。如下：
3. 所以，最後只能採用兩點差值來實現趨勢的描繪，這是純折線的，而且就是線性插值，其實完全沒有必要用拉格朗日了。
……然後發現拉格朗日在實際中的應用很少，因為存在數值不穩定性的特性。
測量資料會有誤差，構造的函式還會有誤差，計算機計算浮點數也有誤差，所以，最終可能會造成很大的誤差。所以，雖然我們有了這個理論基礎，但是在實際應用的時候，仍然需要根據特殊的情況進行編寫，以適應我們的應用。比如可以讓距離間隔差不多的幾個點來進行3點插值，這樣拋物線會平滑，就不會產生負值了，當然，這只是針對我的這種情況而言。再比如，可以進行3點滑動插值，每次插值完成後，移除第乙個點，既每次插值都會保留上次所使用的插值點。
4. 由於拉格朗日插值演算法在插值點增加或者減少時，需要重新計算基本多項式，這樣效率會很低。為了解決這個問題，引入了牛頓插值法.
拉格朗日**實現：
//arrx[n],arry[n]分別存放的是已知插值節點(xi,yi)中的xi,yi,引數n為已知插值節點的個數,而引數x為待求解的插值節點的橫座標值
float lagrange(float arrx,float arry,int n, floatx)
float yresult = 0.0;
float lvalue[80];
intk,m;
floattemp1,temp2;
for(k=0;k
temp1 = 1.0;
temp2 = 1.0;
for(m=0;m
if(m==k)
continue;
temp1 *=(x-arrx[m]);
temp2 *=(arrx[k]-arrx[m]);
lvalue[k]=temp1/temp2;
for(int i=0;i
yresult+=arry[i]*lvalue[i];
returnyresult;
二. 牛頓插值演算法
牛頓插值法的公式如下：
其中，f[x]的求解如下：
牛頓插值演算法的關鍵在於獲得係數f(xk)。我們就以作者所取的3個點(0, 1), (2, 2), (3, 4)來**。根據公式，我們需要取得f(x1), f(x1,x2), f(x1,x2,x3).首先我們分別計算一下值，這是數學計算。
f(x1) = 1；
f(x1,x2) = (f(x2)- f(x1))/(x2- x1) = 1/2
f(x2,x3) = 2. 計算同上，雖然這不是有效係數，但是在進一步求係數的時候會用到。
f(x1,x2,x3) = (f(x2, x3)- f(x2, x3))/(x3- x1) = 1/2
所以，f(x) = 1+1/2*(x-0)+1/2(x-0)(x-2)
這就是理論學習中牛頓插值演算法所謂的差商原理。
這一步數學計算的目的可以加深大腦對計算過程的理解，推薦演算一遍。
下面是程式實現，僅僅有理論是不夠的，還得寫出**。
首先，我們需要兩個陣列，x[3],y[3],分別存放3個橫座標和對應的縱座標值。
x[3] = , y[3] = .
關鍵的問題還是求係數，作者給我們提供的思路是使用二維陣列來存放，我推演一遍。二維陣列a[i][j]的大小根據自己的需要來定。
先給出結果：
當j=0的時候，a[i][0] = y[i].
當i>=1,j>=1的時候，a[i][j] = (a[i][j-1]-a[i-1][j-1])/(x[i]-x[i-j])
自己歸納一下就可以得到上面的結論。
a[0][0] = y[0] = 1;
a[1][0] = y[1] = 2; a[1][1] = (a[1][0]-a[0][0])/(x[1]-x[0]) = (2-1)/(2-0) = 1/2
a[2][0] = y[2] = 4; a[2][1] = (a[2][0]-a[1][0])/(x[2]-x[1]) = (4-2)/(3-2) = 2
a[2][2] = (a[2][1]-a[1][1])/(x[2]-x[0]) = (2-1/2)/3 = 1/2
所以，f(x) = 1+1/2*(x-0)+1/2(x-0)(x-2)
有效的係數全部存在了a[i][i](i=j的時候)中。
有了上面的二維陣列，就可以很容易的實現牛頓插值演算法了。
牛頓**實現：
插值係數計算：
//求得係數，length為已知的插值點個數
for(i=0;i
for(j=0;j<=i;j++)
if(j==0)
a[i][j] =y[i];
continue;
a[i][j] = (a[i][j-1]-a[i-1][j-1])/(x[i]-x[i-j]);
//牛頓插值演算法
float newton(float arrx, float arry,float factor[40],int n,intx)
float result = arry[0];
float tmp = 1.0;
inti,j;
for(i=1;i
for(j=0;j<=i;j++)
if(j!=i)
continue;
tmp *= (x-arrx[i-1]);
result += factor[i][j]*tmp;
returnresult;
三. 切比雪夫插值
切比雪夫插值的提出是為了改善插值在差值區間上的最大誤差控制
關鍵：切比雪夫插值節點的選取
對於乙個插值區間 [a, b], 如果要在這個插值區間上選取n個點作為插值基點,使得上面的最大誤差
最小，則基點的選法如下:
對於 i = 1, 2, ...., n. 下面的不等式在區間 [a, b] 上滿足
切比雪夫的實現就是在牛頓插值中選取合適的基點，並且要用到cos函式。這個演算法感興趣的可以自己研究一下。
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