我想大多數人對於朗格朗日乘數法的學習已經是好多年前的事情，其中的細節也自然是慢慢模糊了起來，但是對於它的作用我想幾乎是不會忘記的，那就是用來求解條件極值。既然大多數人的記憶都停留在這個地方，那麼我們就從這個開始重新拾起拉格朗日乘數法。下面就以乙個例題來重溫一下求解過程：
求解目標函式在約束條件下的條件極值。
解：作拉格朗日函式
由式子可得的駐點：
解方程組便可以求得：
由此我們便可以知道，目標函式在約束條件下的條件極值為。那為什麼可以通過這樣的方法來求得條件極值呢？
在數學優化問題中，拉格朗日乘數法(lagrange multipliers )是一種用於求解等式約束條件下區域性最小(最大)值的策略。它的基本思想是通過將含約束條件的優化問題轉化為無約束條件下的優化問題，以便於得到各個未知變數的梯度，進而求得極值點[1]。因此，一句話就是拉格朗日乘數法是一種用來求解條件極值的工具。那什麼又是條件極值呢?
所謂條件極值是指，在一定約束條件下(通常為方程)目標函式的極值就稱為條件極值。
我們知道在一元函式中可以利用極值的必要條件來求解的極值。一元函式極值的必要條件為：若在處取得極值，且存在，那麼立即有。也就是說，我們可以通過令來求得極值點。那如果函式在約束條件下取得了條件極值，那麼我們該怎麼求解其極值點呢？換句話說條件極值的必要條件是什麼呢？
設是在條件下的條件極值，同時等式確定了乙個一元隱函式；則此時有一元函式將在處取得極值。
根據一元函式極值的必要條件有：
同時，根據隱函式的求導公式可知：
由式子可得：
由可得：
那麼，此時我們便可以理解成，即目標函式和約束條件在取得條件極值處的梯度平行。由此可知，取得條件極值的必要條件為：
由可知：
使得 進一步，如果我們令，那麼由可得，即是函式的駐點。因此，求的條件極值就可以轉換為求駐點的問題。
同時，我們稱為條件極值的拉格朗日函式，稱為拉格朗日乘數。因此，函式在點處取得條件條件下極值的必要條件為：使得為拉格朗日函式的的駐點。
求多元函式在條件下的極值：
第一步：作拉格朗日函式
第二步：求的駐點，即解如下方程組：
第三步：便是可能的條件極值點
在本篇文章中，筆者首先介紹通過乙個引例介紹了如何通過拉格朗日乘數法來求解條件極值；然後通過一元函式極值的必要條件推導出了拉格朗日乘數法的原理；最後再推廣得到了如何用拉格朗日乘數法來求解多元函式的條件極值。本次內容就到此結束，感謝閱讀！
[1][2]《高等數學學習手冊》徐小湛
拉格朗日乘數法
在求取有約束條件的優化問題時，拉格朗日乘子法 lagrange multiplier 和kkt條件是非常重要的兩個求取方法，對於等式約束的優化問題，可以應用拉格朗日乘子法去求取最優值 如果含有不等式約束，可以應用kkt條件去求取。當然，這兩個方法求得的結果只是必要條件，只有當是凸函式的情況下，才能保...
拉格朗日乘數法
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在求取有約束條件的優化問題時，拉格朗日乘子法 lagrange multiplier 和kkt條件是非常重要的兩個求取方法，對於等式約束的優化問題，可以應用拉格朗日乘子法去求取最優值 如果含有不等式約束，可以應用kkt條件去求取。當然，這兩個方法求得的結果只是必要條件，只有當是凸函式的情況下，才能保...