拉格朗日反演是求關於函式方程的冪級數展開係數非常重要的工具，可以用於組合計數函式的係數提取。
對任意域
f 我們定義其上的形式冪級數為：f(
x)=a
0+a1
x+⋯+
anxn
+⋯,a
i∈f.
記所有的形式冪級數為f[
[x]]
.（從交換代數的觀點來說f[
[x]]
實際上是多項式環f[
x]在理想(x
) 處的完備化。）
容易看到f[
[x]]
顯然的構成整環，我們記其商域為f(
(x))
，由形如：f(
x)=a
−mx−
m+⋯+
a−1x
−1+a
0+⋯+
anxn
+⋯的元素構成。
定理：若f(證明：記g(x),g
(x)∈
f[[x
]]且f(
g(x)
)=x ，那麼 [x
n]g(
x)=1
n[x−
1]1f
(x)n
.
特別的，若 f
(x)=
x/ϕ(
x)那麼 [
xn]g
(x)=
1n[x
n−1]
ϕ(x)
n.這裡 [
xn]f
(x) 表示取 f
(x) 中 x
n 的係數。
x)=∑
i≥1b
ixi ，由形式冪級數性質（無常數項的形式冪級數在復合運算下構成群）有x=
g(f(
x))=
∑i≥1
bif(
x)i.
求導可得1=
∑i≥1
ibif
(x)i
−1f′
(x).
為了得到bn
，我們兩邊除以f(
x)n 有
1f(x
)n=∑
i=1n
−1ib
ii−n
(f(x
)i−n
)′+n
bnf′
(x)f
(x)+
∑i>ni
bii−
n(f(
x)i−
n)′.
我們用運算元[x
−1] 作用兩邊，容易知道上式右邊前後兩項係數均為
0 （冪級數求導後不會出現x−
1的項），中間相計算如下f′
(x)f
(x)=
a1+2
a2x+
3a3x
2+⋯a
1x+a
2x2+
⋯=a1
+2a2
x+3a
3x2+
⋯a1x
⋅11+
(a2a
1x+a
3a1x
2+⋯)
=(x−
1+2a
2a1+
⋯)(1
−z(a
2a1+
a3a1
x+⋯)
).所以[x
−1]f
′(x)
f(x)
=1.簡單計算即得bn
=1n[
x−1]
1f(x
)n.
□ [1]. lagrange inversion formula.
拉格朗日反演
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拉格朗日插值與拉格朗日反演
模板 拉格朗日插值 拉格朗日插值法 f x sum limits 我們先把右邊那部分提出來看 ell x prod x x cdots x x cdots x 舉個例子吧 有二次函式上的三點 f 4 10,f 5 5.25,f 6 1 求 f 18 求出三個基本式 ell x ell x ell x...
學習筆記 拉格朗日反演
我真的是吐了，最近學什麼都學不懂。這個東西還是 tt oneindark 去翻 搞懂的，我只能拾人牙慧了。對於原函式 y f x 我們想求乙個反向對映 g y x 也就是滿足下列的關係式 g f x x 但是這個反演是有限制的，f,g 只能含有 x 的正整數次冪，在下面的推導中我會告訴你為什麼。用 ...