動態規劃解決回文串問題

有關回文串的問題可以用很多種演算法來解決，比如：專門為解決回文串而設計的演算法manacher 演算法，馬拉車演算法等等，可以看這裡 。而本文只關心用動態規劃的方法來解決。

文章涉及到 求

最長回文子串 leetcode 5

最長回文子串行 leetcode 516

最少分割次數使得都為回文子串 leetcode 132

最少插入次數使得為回文子串 leetcode 1312

對待回文串問題的動態規劃狀態定義，一般有兩個

對於狀態的定義要和題目所求的量搭上關係

狀態轉移方程思考也有兩個途徑

1.最長回文子串 leetcode 5

狀態定義

dp[i][j] 表示字串 s 的第 i 到 j 個字母組成的串 s[i…j]是否為回文串

狀態轉移方程

dp[i][j] = dp[i+1][j-1] && (s[i]==s[j])

base case

i == j 時 dp[i][j] = 1

class solution 

}return ans;}};

狀態定義

dp[i][j]表示在子串 s[i…j] 中，最長回文子串行的長度為 dp[i][j]

狀態轉移方程

if (s[i] == s[j])

dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;   // s[i] s[j]都在最長回文子串行中
else
dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); // s[i+1..j] 和 s[i..j-1] 誰的回文子串行更長？

class solution 

for( int i = n-1; i >= 0; i -- )
}return dp[0][n-1];}};

並且這裡分割，很明顯不能使用中心擴散的方法，所以只能使用一維dp

狀態定義

dp[i]：表示字首子串 s[0…i] 分割成若干個回文子串所需要最小分割次數。

狀態轉移方程

if  (s[0:i] 本身就是乙個回文串) 

那麼不用分割 dp[i] = 0
else
for j in (0..i)
if (s[j + 1, i] 是回文])
dp[i] = min( dp[i], [dp[j] + 1 )

class solution 

return true;
}public:
int mincut(string s) }}
return dp[n-1];}};

狀態轉移方程

if(s[i] == s[j])

dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
else
dp[i][j] = min( dp[i+1][j], dp[i][j-1] ) + 1;

class solution 

}return dp[0][n-1];}};

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