通過三維掃瞄獲取的網格資料往往不夠光滑，細節不夠突出，其原因有很多，比如由於物體本身材質易反光，導致基於光學三角測量原理的掃瞄器裝置獲取的深度不夠準；掃瞄器裝置硬體限制，導致容易受環境干擾，形成雜點。對物體表面細節的恢復要求，則是考驗掃瞄器應對深度不連續區域的處理能力。
前端處理不好的瑕疵會直接體現在生成的網格上，那麼如何對網格進行去噪平滑？回答這個問題前，首先要看問題的潛台詞。把網格平滑成乙個球肯定無法滿足要求，使用者真正關心的是，如何既保持網格模型特徵，又能對網格進行光滑處理。
應用譜分析的理論，網格資料，包括網格頂點座標、法向、顏色等等均可視為分布在曲面上的訊號。學過傅利葉分析的同學知道，我們可以把任何乙個週期函式拆分成多個不同週期、不同振幅的正弦函式的組合。下圖是乙個從上到下依次疊加了不同正弦函式的波形。這圖能給你帶來什麼啟發？
上圖中鋸齒狀的波形是由高頻訊號產生的。這啟發 我們可以把尖銳的特徵和雜訊視為網格訊號中的高頻分量。因此網格平滑本質上抑制其中的高頻訊號，保特徵則是保持或增強特徵對應頻率的訊號。
上文只是構建了網格平滑這個工作的世界觀（就像漫威宇宙一樣），實操的難點有很多，比如，如何區分尖銳特徵和雜訊，兩者一般都是高頻訊號；如何找到希望保持的特徵的對應頻率訊號；如何穩定、快速的進行訊號處理等等一系列問題。
這方面的工作浩如煙海，在google scholar 搜mesh denoise或mesh fairing，至少有上萬篇文章。我沒有能力介紹那麼多工作，只能以自己有限的見識，篩選部分介紹。
首先我們回顧一下傅利葉變換，定義在空間域內的函式
回想起希爾伯特空間中內積的定義：
，其中
是 的復共軛，我們可以推出
，其中
。於是，我們可以推出如下連續及離散表示：
上式告訴我們，通過傅利葉變換可以將函式轉變為頻域空間中傅利葉基的線性表示，
是一組正交基。如果我們使用低通濾波器，裁剪掉超過閾值
的基，所得結果就等價於重建如下訊號：
我們再仔細分析一下基函式
，會有很有意思的發現。如果我們計算
的laplacian運算元：
會發現
就是laplacian運算元的特徵函式。這是乙個非常有意思的結論。
它啟發我們，如果想把上述推導推廣到二維流形中去，選擇laplace-beltrami運算元的特徵函式作為基函式是非常自然也直接的選擇。
二維流形上laplace-beltrami運算元的離散化形式我們已經比較熟悉了，定義為頂點及其鄰域頂點差異的加權和：
權重 的取法有許多，頂點入度，cotangent權重等。一般為了保持laplace矩陣為對稱矩陣，不逐行做歸一化。
連續的特徵函式
此時化身為laplace矩陣的特徵向量
。而 維的特徵向量
可以理解為連續特徵函式
的離散取樣：
。其中第
個元素剛好可以表示波動函式
在 處的振幅，而該波動函式的頻率則由對應的特徵值
決定。這就是蘊含其中的幾何含義。
由於laplace矩陣
是對稱半正定矩陣，其特徵向量可以張成n維空間
。於是我們可以用上述的低通濾波器，利用前m個特徵向量重建出函式：
下圖是乙個簡單示例，可以看到使用不同個數的特徵向量重建的不同細節效果。
這類方法有個顯著的缺點，由於需要對龐大的laplace矩陣進行特徵值分解，計算代價太高。相比直接裁剪掉高頻特徵向量，另一類方法diffusion flow計算代價小得多，因此也被廣泛採納在實際工程應用中。
且聽下文分解。
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