本文為我個人對learn x in y minutes系列的lambda calculus部分內容的中文翻譯（首發部落格位址y分鐘入門lambda演演算法）。非常推薦有能力的讀者直接去閱讀原文。
包含部分譯者新增的細節補充
最初由alonzo church創造的lambda演算（λ-演算）是世界上最小的程式語言。雖然沒有數（number），字串（string），布林型（boolean）或其他任何非函式（non-function）的資料型別，但lambda演算能用於表示任何圖靈機。
lambda演算由3個元素組成：變數，函式，和應用
最基本的函式是恒等函式：
求值通過β化簡（β-reduction）完成，本質上是詞法作用域的替換。
當對表示式
你甚至可以創造高階函式：
雖然lambda演算傳統上只支援單引數函式，但我們可以用一種被稱為柯里化（currying）的技巧來創造多引數函式。
有時 必須意識到傳統的lambda演算沒有數，字元，或任何非函式的資料型別！
在lambda演算中沒有true或false，甚至沒有1或0。
而是有：
首先，我們定義乙個if函式
，如果
為true返回
，如果為false返回
if等價於
譯者注在理論上這樣的做法在該演算系統沒有問題，但實踐中的使用if，我們可以定義基本布林邏輯運算子：if語句if a then b else c要求b和c有且只有乙個被求值，在嚴格求值的語言（如scheme）中不可以通過定義普通的函式（lambda表示式）來實現真正的if語句，否則b和c都會被求值，需要通過巨集或其他方法來改變求值行為。
等價於
等價於
等價於
注意：
實質上是在說
譯者注雖然lambda演算沒有數字，但我們可以用church數來對數字編碼。not是一元運算子，我懷疑這裡原文寫錯了，應該是not a，當然後面lambda演算表示式是正確的。我已向該專案提交相應的issue等待回應。
對於任意數n：
所以有為了增加乙個church數，我們用後繼函式（successor function）
即：使用後繼，我們可以定義加法：
挑戰:試著自己定義乘法函式
譯者注
寫完或者根本想不出來可以參考section 1.1定義的
mult函式，我就不直接寫出來干擾思考了。
譯者注令想快速入門lambda演算的看到這裡已經足夠，可以直接根據更多高階閱讀材料的前三條參考鏈結開始進一步學習。而從這裡開始和lambda演算的關係已經不是很大了，只是通過一系列化簡計算來把它用「更小」的演算系統表示，假設用
表示 語言的所有要素都可以用
語言來表示，即
可以被規約（化簡）到
，那麼接下來繁複的炫技演示了λ演算
ski演算
sk演算
ι演算的過程，語言的元素數量逐步減少。關於這些演算系統定義和發展的歷史以及它們的關係，除了接下來的內容外，也可以見wiki詞條combinatory logic
, 和
為以下函式：
我們可以把lambda演算中的表示式轉換為ski組合子演算中的表示式：
以church數2為例：
對於內部的
部分：所以
對於第乙個引數
對於第二個引數
把它們合併起來
展開它，我們最終會再次得到與church數2相同的表示式。
ski組合子演算還能被進一步化簡，注意到
我們可以移除
組合子。我們把所有
替換為
sk組合子演算依然不是最小的，定義
我們有a tutorial introduction to the lambda calculus
cornell cs 312 recitation 26: the lambda calculus
wikipedia - lambda calculus
wikipedia - ski combinator calculus
wikipedia - iota and jot
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