由於普通的二叉查詢樹會容易失去」平衡「，極端情況下，二叉查詢樹會退化成線性的鍊錶，導致插入和查詢的複雜度下降到 o(n) ，所以，這也是平衡二叉樹設計的初衷。那麼平衡二叉樹如何保持」平衡「呢？根據定義，有兩個重點，一是左右兩子樹的高度差的絕對值不能超過1，二是左右兩子樹也是一顆平衡二叉樹。
如下圖所示，左圖是一棵平衡二叉樹，根節點10，左右兩子樹的高度差是1，而右圖，雖然根節點左右兩子樹高度差是0，但是右子樹15的左右子樹高度差為2，不符合定義，所以右圖不是一棵平衡二叉樹。
由此可以看出平衡二叉樹是一棵高度平衡的二叉查詢樹。所以，要構建跟維繫一棵平衡二叉樹就比普通的二叉樹要複雜的多。在構建一棵平衡二叉樹的過程中，當有新的節點要插入時，檢查是否因插入後而破壞了樹的平衡，如果是，則需要做旋轉去改變樹的結構。
關於旋轉，這東西不拿動態圖將還真很難講明白。所以我就借一下 最容易懂得紅黑樹 這篇文章中左旋右旋的圖來講。
左旋：
右旋：
不同於順時針跟逆時針變換這種方式去記憶，上面兩個動態圖特別方便記憶跟理解：
左旋就是將節點的右支往左拉，右子節點變成父節點，並把晉公升之後多餘的左子節點出讓給降級節點的右子節點；
而右旋就是反過來，將節點的左支往右拉，左子節點變成了父節點，並把晉公升之後多餘的右子節點出讓給降級節點的左子節點。
即左旋就是往左變換，右旋就是往右變換。不管是左旋還是右旋，旋轉的目的都是將節點多的一支出讓節點給另乙個節點少的一支。
舉個例子，像上圖是否平衡二叉樹的圖裡面，左圖在沒插入前」19「節點前，該樹還是平衡二叉樹，但是在插入」19「後，導致了」15「的左右子樹失去了」平衡「，所以此時可以將」15「節點進行左旋，讓」15「自身把節點出讓給」17「作為」17「的左樹，使得」17「節點左右子樹平衡，而」15「節點沒有子樹，左右也平衡了。如下圖，
由於在構建平衡二叉樹的時候，當有新節點插入時，都會判斷插入後時候平衡，這說明了插入新節點前，都是平衡的，也即高度差絕對值不會超過1。當新節點插入後，有可能會有導致樹不平衡，這時候就需要進行調整，而可能出現的情況就有4種，分別稱作左左，左右，右左，右右。
左左：
左左即為在原來平衡的二叉樹上，在節點的左子樹的左子樹下，有新節點插入，導致節點的左右子樹的高度差為2，如上即為」10「節點的左子樹」7「，的左子樹」4「，插入了節點」5「或」3「導致失衡。
左左調整其實比較簡單，只需要對節點進行右旋即可，如下圖，對節點」10「進行右旋，
注意：如果對左右旋變換還不是很懂或不是很熟練的，可以對照著前面的那兩個**去想象，自己動手變換幾次，就明白了。
左右：
左右即為在原來平衡的二叉樹上，在節點的左子樹的右子樹下，有新節點插入，導致節點的左右子樹的高度差為2，如上即為」11「節點的左子樹」7「，的右子樹」9「，插入了節點」10「或」8「導致失衡。
左右的調整就不能像左左一樣，進行一次旋轉就完成調整。我們不妨先試著讓左右像左左一樣對」11「節點進行右旋，結果圖如下，右圖的二叉樹依然不平衡，而右圖就是接下來要講的右左，即左右跟右左互為映象，左左跟右右也互為映象。
右右跟左左一樣，只需要旋轉一次就能把樹調整平衡，而左右跟右左也一樣，都要進行旋轉兩次才能把樹調整平衡，所以，首先上圖的這種調整是錯誤的，正確的調整方式是，將左右進行第一次旋轉，將左右先調整成左左，然後再對左左進行調整，從而使得二叉樹平衡。
即先對上圖的節點」7「進行左旋，使得二叉樹變成了左左，之後再對」11「節點進行右旋，此時二叉樹就調整完成，如下圖，
右左：
右左即為在原來平衡的二叉樹上，在節點的右子樹的左子樹下，有新節點插入，導致節點的左右子樹的高度差為2，如上即為」11「節點的右子樹」15「，的左子樹」13「，插入了節點」12「或」14「導致失衡。
前面也說了，右左跟左右其實互為映象，所以調整過程就反過來，先對節點」15「進行右旋，使得二叉樹變成右右，之後再對」11「節點進行左旋，此時二叉樹就調整完成，如下圖，
右右：
右右即為在原來平衡的二叉樹上，在節點的右子樹的右子樹下，有新節點插入，導致節點的左右子樹的高度差為2，如上即為」11「節點的右子樹」13「，的左子樹」15「，插入了節點」14「或」19「導致失衡。
右右只需對節點進行一次左旋即可調整平衡，如下圖，對」11「節點進行左旋。
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