乙個老鼠走迷宮問題的python解法

今天在查詢馬爾科夫鏈的過程中，在網上看到乙個有意思的問題，於是用python將其做了實現和改進，題目如下：

如下圖所示的迷宮共有9個格仔，相鄰格仔有門相通，9號格仔就是迷宮出口. 整個迷宮將會在5分鐘後坍塌.

1號格仔有乙隻老鼠，這只老鼠以每分鐘一格的速度在迷宮裡亂竄（它通過各扇門的機會均等）。求此老鼠在迷宮坍塌之前逃生的概率。如果這只老鼠速度提高一倍，則老鼠在迷宮坍塌之前逃生的概率能增加多少？

題目中可以看空間1為入口，空間9為出口，思路上既可以用迭代的方法，也可以用矩陣形式來編寫 。

先是基於馬爾科夫鏈的矩陣形式。馬爾科夫鏈的本質是乙個時間、狀態離散的馬爾可夫過程，本質特徵就是，模型當前的狀態，依賴也僅依賴於前面的那乙個狀態。

設s為狀態分布矩陣，p為狀態轉移矩陣，那麼老鼠的每一次移動，這個過程即是乘上p的過程，當前的狀態分布矩陣，即是p與s的矩陣乘積。（此處s需以列向量的形式呈現）具體不在贅述，如果程式設計採用矩陣運算的形式，那麼對於題中這樣乙個長度為9的狀態分布矩陣，就需要用到9*9的狀態轉移矩陣來計算，如果迷宮變大了，矩陣將會變得非常大。

那麼從迭代的思路來看呢：

在初始狀態的情況下，老鼠所在的位置，空間狀態概率被記為1，其餘位置的概率為零。

現在老鼠只有兩個選擇，要麼去2，要麼去4，在機會均等的情況下，那麼下乙個狀態（也就是老鼠動一步的情況下），老鼠到達2和4的概率都是0.5，而老鼠留在1的概率為0，所以2、4的當前狀態的概率都變成了0.5，而1的當前狀態的概率，變成了0。

現在要進行下一次移動，又會面臨新的選擇，老鼠每一次的移動，就以此類推。

我們拋開確定的狀態，從整體任選乙個狀態。如果老鼠的當前位置處於四個角上，即周圍存在兩個可以去的空間，那麼移動機會均等的情況下，去往每乙個空間的可能性為1/2。如果老鼠當前位於邊上，周圍就有三個可以去的空間，那麼這個概率就變成了1/3，以此類推，內部的話就會有四個空間，概率是1/4。

然後我們再考慮，從上乙個狀態到達當前狀態的概率是多少呢？那就要看，當前位置，老鼠可能是從**來的。如果老鼠**的那個空間，周圍有三個可以去的空間，那麼現在空間的概率，就是老鼠**空間概率的1/3，當然，當前空間不僅僅只會有這乙個老鼠**，會有很多個，那麼當前空間的概率，就是這些**的累積。

除此以外，要考慮幾個點：老鼠走到出口後，是不會再動的，這就意味著，出口相鄰的點，是不會接受來自出口的老鼠的，也就是從出口出來的老鼠，概率應當統統記為0。既然老鼠在出口去不了其他地方，是在出口是不會動的，那麼老鼠在出口的概率，就每次更新狀態時候應當保留。（出口，是乙個只進不出的點）

此外，這個程式可以自行設定迷宮長與寬，設定老鼠當前位置和出口位置，設定步數。

可以的改進：可以擴充套件到三維或是多維；設定某個移動方向的傾向（也就是概率，目前是概率均等）

import numpy as np

defconnect
(point,size,rat_exit)
:    flag =
0    m,n = size
x,y = point
if[x,y]
== rat_exit:
return
0for
[xx,yy]in[
[x-1
,y],
[x+1
,y],
[x,y-1]
,[x,y+1]
]:if0
<=xx
0<=yy
flag +=
1if flag ==1:
return
1elif flag ==2:
return
0.5elif flag ==3:
return1/
3elif flag ==4:
return
0.25
#main
size =
input
('棋盤的長與寬：'
)size =
list
(int
(x)for x in size.split(
',')
)m,n = size
rat =
input
('入口所在座標：'
)rat =
list
(int
(x)for x in rat.split(
',')
)a,b = rat
rat_exit =
input
('出口所在座標：'
)rat_exit =
list
(int
(x)for x in rat_exit.split(
',')
)aa,bb = rat_exit
# l = int(input('逃離步長：'))
t =int
(input
('逃離步數：'))
a = np.zeros(
[m,n]
)a[a,b]=1
print
('初始狀態為：'
)print
(a)for i in
range
(t):
aa = a.copy(
)for x in
range
(m):
for y in
range
(n):
if[x,y]
!= rat_exit:
aa[x,y]=0
for[xx,yy]in[
[x-1
,y],
[x+1
,y],
[x,y-1]
,[x,y+1]
]:if0
<=xx
0<=yy
aa[x,y]
+= a[xx,yy]
*connect(
[xx,yy]
,size,rat_exit)
a = aa
print
('第{}次行動後的狀態為：'
.format
(str
(i+1))
)print
(a)print
('\n'
)p = a[aa,bb]
print
('老鼠到達出口的概率為：'
+str
(p))

執行結果示例：

乙個走迷宮的程式

本文給出乙個c語言版的走迷宮的程式。迷宮的寬和高，迷宮矩陣，迷宮的入口和出口從檔案讀入。程式首先讀入迷宮資料，然後顯示迷宮矩陣，最後呼叫迷宮搜尋程式找到乙個路徑，並輸出。1.迷宮的表示。迷宮用結構體matrix來表示 包括迷宮矩陣 迷宮的寬，迷宮的高，迷宮入口的座標，迷宮出口的座標。結構體定義如下 ...

老鼠走迷宮問題，求出所有路徑

本次所練習使用的主要方法是遞迴 所要注意的主要問題是 要確定起訖點的相對位置，否則又由於遞迴 的順序會漏掉一些可行路徑 先橫向 縱向接近目標點，然後再橫向 縱向遠離目標點 最好對應 例如 假設訪問的順序是下上右左 相對於乙個固定的矩陣 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 ...

UESTC 853 乙個簡單的走迷宮問題

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