目錄
一、堆的性質
二、堆的實現
1. 儲存方式
2. 向堆中插入元素
3. 刪除堆頂元素
4. 其他操作
5. 完整**
三、堆排序
1. 原地建堆
2. 排序
3. 完整**
4. 建堆的複雜度：o(n)
5. 堆排序的複雜度：o(nlogn)
6. 和快速排序的比較
堆是一種特殊的樹。
只要滿足以下兩點，它就是乙個堆：
第一點，堆必須是乙個完全二叉樹。完全二叉樹要求，除了最後一層，其他層的節點個數都是滿的，最後一層的節點都靠左排列，自然堆也具有完全二叉樹的所有性質。
第二點，堆中的每個節點的值必須大於等於（或者小於等於）其子樹中每個節點的值。實際上，我們還可以換一種說法，堆中每個節點的值都大於等於（或者小於等於）其左右子節點的值。這兩種表述是等價的。
對於每個節點的值都大於等於子樹中每個節點值的堆，我們叫做「大頂堆」。對於每個節點的值都小於等於子樹中每個節點值的堆，我們叫做「小頂堆」。
以下講解都用大根堆為例。
因為堆是完全二叉樹，而用陣列來儲存完全二叉樹是非常節省儲存空間的，所以堆也選擇陣列儲存。
class dui
...};
用陣列的1號下標儲存根節點。那麼對於一般的節點 i，其左孩子為 i*2，右孩子為 i*2+1，其父親節點則為 i/2。（當然所有派生出來的節點x都要先判斷 0
為了保證其完全二叉樹的性質，所以插入元素的位置，一定是n的下乙個位置；
為了保證其堆的性質，插入乙個元素後我們需要進行調整，這個過程稱之為堆化。
例如我們在如下圖所示堆中插入下標為14的節點22。
因為22大於其父親節點9，這不滿足大根堆的性質，所以我們要執行交換，以此類推，直至不在發生交換。如下圖：
像這種順著節點所在的路徑，依次向上對比，然後交換的操作，我們稱之為自下而上的堆化。因為插入節點是在最底層，所以插入操作適合自下而上的堆化方法。
void dui::push(int x)
}
例如下圖我們刪除節點12。我們先用12替換（覆蓋）節點33，然後再從上往下依次比較，交換，這種方式稱之為自上而下的堆化。因為我們是先從根開始調整的，所以刪除操作適合自上而下的堆化方法。
這裡還要注意，自上而下的堆化過程比自下而上的方法要複雜點兒，因為左右孩子是需要去選擇的，而父親節點只有乙個。
void dui::pop() //堆的大小
int top() //返回堆頂
bool empty() //判斷堆是否為空
#includeusing namespace std;
class dui
int size() //堆的大小
int top() //返回堆頂
bool empty() //判斷堆是否為空
void push(int x); //插入元素至堆
void pop(); //刪除堆頂元素
};void dui::push(int x)
}void dui::pop()
...}
這個過程類似於「刪除堆頂元素」的操作，刪除之後我們堆化剩餘的n-1個元素（最後乙個元素已經是有序的，不再考慮），然後可以得到剩下的 n−1 個元素重構的堆。
再交換，堆化，直至堆中只剩乙個元素，排序結束。
過程如下圖：
**： 需要注意的是，堆的大小是一直在減小的，heapful的堆大小引數是i-1。
//排序過程：交換 維護
for (int i=n; i>1; i--)
#includeusing namespace std;
void heapful(int a,int n,int i)
//排序過程：交換 維護
for (int i=n; i>1; i--)
}int main(){
int n;
int p[1000];
cin>>n;
for (int i=1; i<=n; i++) cin>>p[i];
sort(p,n);
for (int i=1; i<=n; i++) cout一直以為建堆的複雜度和向堆中插入元素的複雜度是一樣的，都是o(nlogn)，沒想到是o(n)。
淺顯的理解：葉子節點不需要堆化。
證明：建堆複雜度o(n)，排序複雜度n*logn，總複雜度o(nlogn)。並且堆排序是不穩定的。
為什麼快速排序要比堆排序效能好？
第一點，堆排序資料訪問的方式沒有快速排序友好。對於快速排序來說，資料是順序訪問的。而對於堆排序來說，資料是跳著訪問的。 比如，堆排序中，最重要的乙個操作就是資料的堆化。比如下面這個例子，對堆頂節點進行堆化，會依次訪問陣列下標是 1，2，4，8 的元素，而不是像快速排序那樣，區域性順序訪問，所以，這樣對 cpu 快取是不友好的。
第二點，對於同樣的資料，在排序過程中，堆排序演算法的資料交換次數要多於快速排序。我們在講排序的時候，提過兩個概念，有序度和逆序度。對於基於比較的排序演算法來說，整個排序過程就是由兩個基本的操作組成的，比較和交換（或移動）。快速排序資料交換的次數不會比逆序度多。
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