第一題：
當g是阿貝爾群時，任取h1n1，h2n2∈hn，(h2n2)(-1) = n2(-1)h2(-1) ,所以(h1n1) * (h2n2)(-1) = e∈h，所以hn是g的子群，當g不是阿貝爾群時，hn不具有封閉性，不是群。
第二題：
①.任取h1k1，h2k2∈hk，則(h1k1)(h2k2)(-1) = h1k1k2(-1)h2(-1) ， 設k1k2(-1) = k』，則有(h1k1)(h2k2)(-1) = h1(h2(-1)h2)k』h2(-1) = (h1h2(-1))(h2k』h2(-1))，因為k是正規子群，所以h2k』h2(-1) ∈k，又h1h2(-1) ∈h，所以(h1k1)(h2k2)(-1) ∈hk,所以hk是g的子群。
②.對於任意h∈h，k∈k，且k∈h∩k，所以當h，k∈h時，h(-1)kh∈h，又因為k是正規子群，所以h(-1)kh∈k，所以h(-1)kh∈h∩k，所以h∩k是h的正規子群。
③.定義同態對映 ϕ :h->hk/k，對於任意的h∈h，h->hk。因為對任意陪集hkk= hk，則h∈h是它的原像，則ϕ是滿射，又ϕ(hh』) = hh』k= hkh』k= ϕ(h)ϕ(h』)，所以ϕ是同態對映。又根據第一同構定理得hk/k = ϕ(h) ≌ h/ker ϕ，又ker ϕ = =h∩k,所以hk/k≌h/h∩k
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