最優化問題之物料分割

物料切割是把原材料按企業要求進行加工，力求減少餘料的損失，加工的第一步便是對原材料進行分割，現如今，這一步通常由計算機來完成，有定義如下：

（1）對原材料的規格的多樣定義為集合r，對於集合r分解成多個集合元素，r_1, r_2

,……, r_n，定義這些子集，對於i,j，當i=j時，r_i和r_j的密度重量相同，，當i≠j時，表示原材料密度重量不同。

（2）假設企業所需要生產的物料規格為集合s，對集合s分解為m個元素s_1, s_2,……, s_m。

（3）r_i必須滿足r_i=a_1s_1+a_2s_2+……+a_m*s_m+t，其中t表示切割後產生的餘料，t≥0，a_i≥0，且為正整數。

（4）對於**商提供的原材料，不用考慮原材料在生產時的微小差別，保證在加工時原材料的一致性，必須考慮每種切割方案產生的物料及餘料的和滿足原材料的原始規格，且每種物料的生產數是正整數。實際生產中並不一定能夠切割出每一種物料規格，因此對切割出的物料種類並沒有嚴格的規定。

假設原材料有9種規格，對應9種方案，9中方案對應的餘料為c_1, c_2,……, c_9，組成乙個矩陣c，加工後的物料需求為五種，分別是130，160，180，190，200，每種需求的重量分別記為b_1, b_2, b_3, b_4, b_5，組成矩陣b。

方案矩陣設為a，每種方案採取x次，則有

ax≥b

約束條件：

x≥0，且x為整數

s.t cx最小

最終可以求出x為最優解。

但是實際中a並不能確定，因此c也不確定，所以對於實際而言，原材料的加工方案需要進一步建模，這樣才能適應大眾的需求，針對現實的多樣化更有優勢也更加完善，根據這個建模來求矩陣a，於是再次對加工方案建模：

（130，160，180，190，200）a≤b_l，b_l是每種材料規格的矩陣

約束條件：

a_ij≥0，且為整數

s.t c_1+c_2+……+c_9最小

將上述兩模型結合，可建模為：

ax≥b

x≥0，且為整數

（130，160，180，190，200）a≤b_l

a_ij≥0，且為整數

s.t cx最小

c_1+c_2+……+c_9最小

這樣問題就變成了多目標優化問題。

根據上面的建模情況可以看出，其實並沒有必要建立乙個求解多目標優化的模型，因為第乙個模型中的a是由第二個模型中求解a得到，但模型二a的求解由模型二的約束條件和目標得到，與第乙個模型的約束並沒有什麼關係，並且第乙個模型的最優解也只是從集合s中選擇乙個矩陣a之後所得到的最優解。

我們可以把第二個模型的約束條件新增到第乙個模型中去，只要解出矩陣a和對應的x，那就找到了最優解。

[1]程波. 基於遺傳演算法的物料切割最優化方法研究[d].武漢理工大學,2015.

[2]馬小姝,李宇龍,嚴浪.傳統多目標優化方法和多目標遺傳演算法的比較綜述[j].電氣傳動自動化,2010,32(03):48-50+53.