在電路學中，星形聯結與三角形聯結的等效變換通常是超越中等教育的第乙個電路知識。教材往往使用斷開其中一端建立電阻等式的推導方法，這種方法雖然正確，但初學者不易察覺其正確性。本文通過純數學推導星形三角聯結的等效電阻變換公式。
星形聯結滿足
i_a+\frac}}&=\frac}} \\ i_b+\frac}}&=\frac}} \\ i_c+\frac}}&=\frac}} \end \right.
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎧ia
+rc
auc
ai
b+r
abu
ab
ic+
rbc
ubc
=r
abu
ab
=rbc
ubc
=r
cau
ca
三角形聯結滿足
u_&=i_ar_a-i_br_b \\ u_&=i_br_b-i_cr_c \\ u_&=i_cr_c-i_ar_a \end \right.
⎩⎪⎨⎪⎧
uab
ubc
uca
=ia
ra
−ib
rb=
ibr
b−i
crc
=ic
rc
−ia
ra
若星形聯結與三角形聯結等效，則對任意的ia,
ib,i
c,ua
b,ub
c,uc
ai_a,i_b,i_c,u_,u_,u_
ia,ib
,ic
,ua
b,u
bc,
uca
，上兩方程組都要成立。
首先消去uab
,ubc
,uca
u_,u_,u_
uab,u
bc,
uca
。將三者代入到星形聯結方程組中，化簡得
i_a+i_b+i_c&=0 \\ i_a\left(r_a+r_c-r_+\frac}}\right)+i_b\left(r_c-r_+\frac}}\right)&=0 \\ \frac+r_\right)r_c+i_a\left(r_c-r_\right)r_+i_b\left[r_\left(r_b+r_c\right)+r_\left(r_b-r_+r_c\right)+\left(r_b-r_+r_c\right)r_\right]}}&=0 \end \right.
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎧
ia+
ib+
ici
a(r
a+r
c−r
ca+
rbc
rcr
ca
)+ib
(rc
−rc
a+r
bc(
rb+
rc)
rca
)ra
bia
(ra
b+r
bc)
rc+
ia(
rc−
rbc
)rca
+ib
[rb
c(r
b+r
c)+
rab
(rb
−rbc
+rc
)+(
rb−
rbc
+rc
)rca
]
=0=0
=0
上方程組對任意ia,
ib,i
ci_a,i_b,i_c
ia,ib
,ic
都要成立，只需
r_a+r_c-r_+\frac}}&=0 \\ r_c-r_+\frac}}&=0 \\ \left(r_+r_\right)r_c+\left(r_c-r_\right)r_&=0 \\ r_\left(r_b+r_c\right)+r_\left(r_b-r_+r_c\right)+\left(r_b-r_+r_c\right)r_&=0 \end \right.
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎨⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎧
ra+
rc−
rca
+rbc
rc
rca
rc
−rca
+rb
c(r
b+r
c)r
ca
(rab
+rb
c)r
c+(
rc−
rbc
)rca
rbc
(rb
+rc
)+r
ab(
rb−
rbc
+rc
)+(r
b−r
bc+
rc)
rca
=0=
0=0=
0若星形聯結電阻rab
,rbc
,rcd
r_,r_,r_
rab,r
bc,
rcd
已知，則三角形聯結電阻為
r_a&=\fracr_}+r_+r_} \\ r_b&=\fracr_}+r_+r_} \\ r_c&=\fracr_}+r_+r_} \end \right.
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎧ra
rb
rc
=rab
+rb
c+r
car
abr
ca
=rab
+rb
c+r
car
bcr
ab
=rab
+rb
c+r
car
car
bc
若三角形聯結電阻ra,
rb,r
cr_a,r_b,r_c
ra,rb
,rc
已知，則星形聯結電阻為
r_&=\frac \\ r_&=\frac \\ r_&=\frac \end \right.
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎧ra
brb
crc
a=
rcr
arb
+rb
rc
+rc
ra
=ra
rar
b+r
brc
+rc
ra
=rb
ra
rb+
rbr
c+r
cra
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