題目描述
兔子，兔子，和很多新的兔子。
乙隻兔子每天會生下 k
kk 只兔子。生下來的小兔子，從第二天開始就會變成大兔子，並且生產。
舉例，k=1
k=1k=
1 時，兔子數量在前三天分別是：1
11 只兔子；1
11 隻大兔、1
11 只小兔；2
22 隻大兔、2
22 只小兔。
現在蘇蘇正在研究這群兔子。他發現一些兔子窩。有 n
in_i
ni 只兔子的窩。他在想，所有兔子肯定都是從外面到來的，然後不再離開，並在這個窩裡繼續繁殖。有多少種不同的情況呢？
兩種情況不同，當且僅當某一天到來的兔子數量不同。可以認為時間軸無限長。
舉例，ni=
5n_i=5
ni=
5 而 k=1
k=1k=
1 時，可能是：前天來了乙隻兔子，今天來了乙隻兔子；昨天來了兩隻兔子，今天來了乙隻兔子；今天來了五隻兔子。
輸入格式
第一行兩個整數 k,t
k,tk,
t ，分別表示兔子的生育能力，兔子窩的數量。
接下來 t
tt 行，每行乙個整數 n
in_i
ni ，表示這個兔子窩的數量。
輸出格式
共 t
tt 行，每行乙個整數，表示不同的兔子到來情況的數量，輸出時取模 109
+7
10^9+7
109+7 。
資料範圍與提示
因為兔子不能斷子絕孫，所以 1≤k
1\le k
1≤k 。因為兔子不可能無限制繁殖，所以 k≤1
09
k\le 10^9
k≤109 。
因為兔子窩太多，蘇蘇也忙活不過來，所以 t≤1
06
t\le 10^6
t≤106 。
因為兔子數量太多，蘇蘇就數不清了，所以他只會告訴你 ni≤
10
6n_i\le 10^6
ni≤10
6 的兔子窩。
看上去題目那麼長，其實就是道簡單的揹包題 ?
因為 x(x
≥0
)x(x\ge 0)
x(x≥0)
天前來到的兔子，到今天就已經變成了 (k+
1)
x(k+1)^x
(k+1)x
只。問題轉變為，求將 n
nn 分解為 (k+
1)
(k+1)
(k+1
) 的冪作和，方案數幾何。
考慮 d
p\tt dp
dp，用 f(n
)f(n)
f(n)
表示方案數。怎麼轉移呀？
這裡有絕妙的一筆。分成兩種情況，今天是否有兔子到來，也就是 1
11 的數量是否為零。如果沒有 1
11 了，那剩下的必須用 (k+
1)
x(k+1)^x
(k+1)x
湊出，其中 x
>
0x>0
x>
0 。能不能轉化成子問題？我們將其全部除以 k+1
k+1k+
1 即可！就會使得 x
xx 減小 1
11 ，回到原來的範圍 x≥0
x\ge 0
x≥0 。
所以我們寫出方程式
f (n
)=f(
n−1)
+[nk
+1∈z
]f(n
k+1)
f(n)=f(n-1)+\left[\frac\in\z\right]f\left(\frac\right)
f(n)=f
(n−1
)+[k
+1n
∈z]f
(k+1
n)複雜度 o(n
+t
)\mathcal o(n+t)
o(n+t)
。可惜這是口胡的題，完全沒有題目和資料和標程呢。
思路**於其簡化版本，即 k=1
k=1k=
1 的情況。傳送門 to usoj。
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