斯圖爾特：這本書反擊了「數學是從定義和公理中推導出來的一組結論，而這些定義和命題除了不矛盾外，可以由數學家隨意創造」的思想，希望把真實的意義放回數學中，與物質現實非常不同的那種意義，是指「數學上不加定義的物件之間的相關關係以及它們所遵循的運算法則」。書中提到的術語雖然也許會過時，但是它的思想是至今有效的。
數學的基本要素：邏輯和直觀、分析和構作、一般性和個別性；發展趨勢從應用科學到理論科學；數學的發展：巴比倫人的初等代數->希臘（真正的起點）->歐多克斯的幾何連續統理論（連續、運動以及無限大難題）；
數學的發展和數學與哲學
數是近代科學的基礎，所有數學命題最終都應歸結為關於自然數。數是一種抽象，不依賴於物件的任何特殊性質。
一、整數的計算
1、算術是正整數之間加法和乘法運算的規律，包括交換、結合和分配律；
利用加法可以定義不等關係，減法、負整數、整數0
2、整數的表示：位置記法（進製表示法）：選擇了固定的進製，便可以利用加法表和乘法表表示計算規則
二、數系的無限性 數學歸納法
1、數系的無限性通過數學歸納法證明；
2、數學歸納法：兩個步驟；只能證明創造性的成分；適合正確的假設
三、數論
歐幾里得、費馬、尤拉、高斯等；
數論中經常研究一類數而不是單個數
1、素數 vs 合數
（1）素數有無窮多個：反證法
（2）素因子分解的唯一性：反證法
（3）素數的分布：「愛拉陀塞姆篩法」 ；
（4）素數的產生：f(n)=2^(2 n)^+1(n<5) ; f(n)=n2 -n +41(n<41)
很難找到乙個可以表示所有素數的代數表示式
（5）素數平均分布----素數定理：τ(n)/n ~ 1/(ln n) ，n越大越相近（高斯猜想）
（6）哥德**猜想：任何乙個偶數（除2外）都能表示為兩個素數的和；（每乙個正整數能表示成不超過300000個素數之和->4個）
（7）素數經常以p和p+2的形式成對出現（未證明）
2、同餘
（1）費馬定理：ap-1=1(mod p) 其中p為不整除a的素數
（2）二次剩餘：a(p-1)/2=1或-1（mod p）p同上；前者為二次剩餘，後者為二次非剩餘；兩者個數均為(p-1)/2；
（3）勒讓德發現（高斯所謂的「二次互反定律」）：已知兩個不同的素數p和q，如果(p-1)/2 * (q-1)/2為偶數，則q為p的二次剩餘當且僅當p是q的二次剩餘；如果(p-1)/2 * (q-1)/2 為奇數，則q為p的二次剩餘當且僅當p為q的二次非剩餘；
3、畢達哥拉斯數和費馬大定理：
（1）畢達哥拉斯三元數：a2+b2=c2 的整數解（a,b,c）,a=v2-u2,b=2uv,c=u2+v2,當v>u，且沒有公因子，為不同的奇數時產生所有的素畢達哥拉斯三元數
（2）費馬大定理：an+bn=cn，當n>2時，沒有自然數解（未被證明）
4、歐幾里得輾轉相除法：
（1）=> 最大公因子
（2）p|ab可以得到p|a或p|b=>算術基本定理
（3）尤拉函式φ：φ§=p-1;φ(n=p1a1p2a2…pnan)=n(1-1/p1)…(1-1/pn)
尤拉定理（費馬定理推論）：aφ(n)=1 (mod n) ,其中n與a互素
（4）連分數：利用輾轉相除法可以將任意有理數表示為連分數
丟番都方程：具有若干個未知數的整係數代數方程，要求解為整數；常見的形式為ax+by=c，只需c為(a,b)的倍數即可；
一、將自然數擴充套件有理數、無理數以及複數
1、有理數：
自然數 --（實際應用以及加乘法逆運算）–>分數（有理數）
有理數的幾何表示，絕對值，
2、無理數：
（1） 不可公度線段 => 無理數
數的連續統（實數系）：有理數+無理數，即全體無限小數（只針對十分位，不具有一般性）
（2）極限：趨向於 ： 趨向於 ；無窮等比級數；
（3）有理數和迴圈小數：迴圈小數可以利用無窮等比級數證明為有理數
（4）無理數和區間套：對於乙個有理端點區間套，在數軸上恰有乙個點包含在所有這些區間中；（更一般的定義）
（5）戴特金分割（無理數的另一種定義）：將有理數分為a,b兩個集合，滿足a中任意元素都小於b中任意元素；有三種情況：（a）,(<=a,>a),(<,>),第三種分割定義了乙個無理數
3、解析幾何概述：
由於數的連續統，可以將幾何與數聯絡起來，從引入「直角座標系」開始；直線方程、曲線方程；
4、無限的數學分析（主要貢獻者：康托）：
（1）無限（∞）不能像普通數那樣放入實數系統；借助「等勢」的概念（「一一對應」的兩個集合）了解無限集，定義無限的「算術」；乙個無限集可以與其真子集「等勢」；
（2）有理數的可數性和連續統的不可數性（康托）；
（3）無限集分為可數無限性和不可數無限性；；而實數連續統和任何可數集不等勢，即並不是無限集都是等勢的；
（4）「相同」基數：是指兩個集合等勢；對於有限集合的基數就是元素的個數，即自然數；
5、複數（解二次方程引入）
幾何解釋：將複數x+yi用在平面直角座標系中，也可以表示為ρ(cosφ+isinφ)；
證明了棣莫弗所發現的公式：（cosφ+isinφ）n=cosnφ+isinnφ
從而發現n次單位根有不同的n個值，分別為ai=cos360i/n+isin360i/n
6、代數基本定理：每乙個n次多項式可以恰好分解為n個因式的乘積；（高斯定理：n次多項式方程至少有乙個解 是前提）
7、代數數：是任意次的整係數方程的根；是有理數的自然推廣；全體代數數是可數的，所以並不是每個實數都是代數數；
超越數：非代數數的實數；
8、柳維爾定理：無理代數數可以用大分母分數的有理數以很高的精確度來逼近的數；設有理數列p1/q1,p2/q2,…, 使pr/qr->z，則有|z-p/q|>1/qn+1
由於實際需要而引入新的數域或者擴大數域的起初，都是在找到幾何意義後才廣泛被接受一、不可能性的證明和代數
1、基本幾何作圖
（1）域的構作和開平方根
將幾何問題轉換為代數語言；解析幾何的原理就是在引進實數連續的基礎上，用實數刻畫幾何物件的量的特徵；
可以利用三角形內的「中位線」來講有理代數過程用幾何作圖實現；
若干個數可以經過運算後仍然屬於這個集合，稱為域；
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