如何從最壞 平均 最好的情況分析複雜度？

你好，我是彤哥，乙個每天爬二十六層樓還不忘讀原始碼的硬核男人。

上一節，我們從事後統計法過渡到漸近分析法，詳細講解了如何進行演算法的複雜度分析。

但是，如果遵循嚴格的漸近分析法，需要掌握大量數學知識，這無疑給我們評估演算法的優劣帶來了很大的挑戰。

那麼，有沒有更好地評估演算法的方法呢？

答案是必然的，本節，我們就從最壞、平均、最好三種情況來分析分析複雜度。

為了便於講解，我寫了乙個小例子：

public

class
linearsearch
;int index =
search
(array,10)
;        system.out.
println
("index="
+ index);}
private
static
intsearch
(int
array,
int value)
}return-1;}}

在最壞情況下，要查詢的元素不存在於陣列中，此時，它的時間複雜度是多少呢？

很簡單，必然需要遍歷完所有元素才會發現要查詢的元素不存在於陣列中。

所以，最壞情況下，使用線性查詢的時間複雜度為o(n)。

在平均情況下，我們要照顧到每乙個元素，此時，它的時間複雜度如何計算呢？

1*1

/(n+1)
+2*/
(n+1)+
...+ n*1/
(n+1)+
(n+1)/
(n+1)=
1/(n+1)*
(n+1
)(n+2)
/2=(n+2)
/2

為什麼要忽略掉常數項？

當n趨向於無窮大的時候，常數項的意義不是很大，所以，可以忽略，比如(n+2)/2=n/2 + 1，n本身已經趨向於無窮大，加不加1有什麼意義呢，n的倍數是2還是1/2並不會有明顯的差別。

同樣地，低階項一般也會抹掉，比如2n^2 + 3n + 1，當n趨向於無窮大的時候，n^2的值是遠遠大於3n的，所以，不需要保留3n。

所以，計算複雜度時通常都會把常數項和低階項抹掉，只保留高階項。

如果我們要查詢的元素正好是陣列的第乙個元素，查詢一次就找到了，這無疑是最好的情況。

所以，在最好情況下，使用線性查詢的時間複雜度是o(1)。

通過上面的分析，可以看到，最壞情況和最好情況是比較好評估的，而平均情況則比較難以計算。

但是，最好情況又不能代表大多數樣本，且平均情況與最壞情況在省略常數項的情況下往往是比較接近的。

所以，通常，我們使用最壞情況來評估演算法的時間複雜度，這也是比較簡單的一種評估方法，且往往也是比較準確的。

本節，我們從最壞、平均、最好三種情況分析了線性查詢的時間複雜度，經過詳細地分析，我們得出結論，通常使用最壞情況來評估演算法的時間複雜度。

請注意，我們這裡使用了「通常」，說明有些情況是不能使用最壞情況來評估演算法的時間複雜度的。

那麼，你知道什麼情況下不能使用最壞情況來評估演算法的時間複雜度嗎？

下一節，我們接著聊。

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