三個問題
原像給定乙個訊息摘要y
yy，是否可以找到x
xx使得h(x
)=
yh(x)=y
h(x)=y
。若原像問題可解，則稱(x,
y)
(x,y)
(x,y
)為有效對；若不能解則稱原像穩固。
第二原像
給定乙個訊息x
xx，其對應hash值為y=h
(x
)y=h(x)
y=h(x)
，是否可以找到x′≠
xx'\not=x
x′=x
使得h (x
′)=y
h(x')=y
h(x′)=
y。若第二原像可解，則稱(x′
,h(x
))
(x',h(x))
(x′,h(
x))為有效對；若不可解則稱第二原像穩固。
碰撞不給定，問是否可以找到x′≠
xx'\not=x
x′=x
使得h (x
′)=h
(x
)h(x')=h(x)
h(x′)=
h(x)
。若碰撞問題可解，則可產生兩個有效對(x,
y)
(x,y)
(x,y)和(x′
=y
)(x'=y)
(x′=y)
，其中y=h
(x′)
=h(x
)y=h(x')=h(x)
y=h(x′
)=h(
x)；若不能有效解決則稱碰撞穩固。
隨機預言機
對任何輸入都回傳乙個真正均勻隨機的輸出，不過對相同的輸入，該預言機每次都會用同一方法輸出。換句話說，隨機預言機是乙個將所有可能輸入與輸出作隨機對映的函式。
令f x,
yf^
fx,y
是為所有從x→y
x→yx→
y的函式集合，假定∣x∣
=n
|x|=n
∣x∣=n，∣y∣
=m
|y|=m
∣y∣=
m，隨機從fx,
yf^
fx,y
中選出乙個hash函式h:x
→y
h: x→y
h:x→
y ，對於任意的輸入x
xx，其輸出值是均勻的，計算h(x
)h(x)
h(x)
的唯一方法是詢問隨機預言機。
生日攻擊
對於乙個概率界限ε(0
<
ε<1)
\varepsilon(0<\varepsilon<1)
ε(0<
ε<1)
，找乙個整數k
kk，使得對於k
kk個兩兩互異的值x1,
x2,…
,xk∈
xx_1,x_2,\dots,x_k\in x
x1,x2
,…,
xk∈
x，kk
k個函式值f(x
1),f
(x2)
,…,f
(xk)
f(x_1),f(x_2),\dots,f(x_k)
f(x1)
,f(x
2),
…,f(
xk)
對某些i≠j
i\not=j
i=
j，有pr[
f(xi
)=f(
xj)]
≥ε
pr[f(x_i)=f(x_j)]\geq\varepsilon
pr[f(x
i)=
f(xj
)]≥
ε，即在k
kk個函式值中，以不小於ε
\varepsilon
ε的概率發生碰撞。產生碰撞是乙個(ε,
o((m
))
)(\varepsilon,o(\sqrt(m)))
(ε,o((
m))
)的演算法。
對乙個輸出空間大小為m
mm的隨機函式，只需計算大概m
\sqrt m
m個函式值，就能以乙個不可忽略的概率發現乙個碰撞。
hash函式的輸出空間大小必須有乙個下界，長度為∣h∣
|h|∣h
∣的hash函式，只需要2∣h
∣2
2^}22
∣h∣
個隨機雜湊值就可以以乙個不可忽略的概率產生乙個碰撞。目前至少為160位元，抗生日攻擊的強度至少為2
802^
280。
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