圓排列問題

給定n個大小不等的圓c1,c2,…,cn,現要將這n個圓排進乙個矩形框中，且要求各圓與矩形框的底邊相切。圓排列問題要求從n個圓的所有排列中找出有最小長度的圓排列。

例如，當n=3，且所給的3個圓的半徑分別為1，1，2時，這3個圓的最小長度的圓排列如圖所示。其最小長度為2+4√2。

如圖所示，三個圓分別與底線相切排列，但是排列方式不同，排列產生的總長度是不同的。

上面的圖的總長度是小於下面的圖的總長度。圓排列問題是尋求乙個產生最短的長度的圓排列方式。

下面用回溯法的限界思想來解圓排列問題

回溯法介紹參考自回溯法介紹

先介紹一下回溯法

1、基本概念：

回溯法是一種類似列舉的搜尋嘗試過程，主要是在搜尋嘗試過程中尋找問題的解，當發現已不滿足求解條件時，就「回溯」返回，嘗試別的路徑。回溯法是一種選優搜尋法，按選優條件向前搜尋，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇並不優或達不到目標，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術為回溯法，而滿足回溯條件的某個狀態的點稱為「回溯點」。

2、基本思想

當所給的問題是確定n個元素滿足某種性質的排列時，相應的解空間樹稱之為排列樹。排序樹通常有**n！**葉結點。

4、回溯法框架

1
void backtrack (
int t)210
}//呼叫函式回溯

在圓排列問題中，我們要做的就是以深度優先方式搜尋解空間，並在搜尋過程中用剪枝函式避免無效搜尋。

實現**主要分為三部分

1、center：求每個圓的圓心橫座標，如圖所示第n個圓的圓心橫座標為與其相切的圓的橫座標+2*√(r[n]*r[n-1])。他可能與前n-1個圓中的任乙個圓相切，所以需要遍歷前n-1個圓求出第n個圓的圓心橫座標。初始化時，第乙個圓的圓心橫座標為0。

2、compute：計算圓排列的長度，變數min表示最小圓排列的長度，通過比較找出最小的左部座標和最大的右部座標，相減後就是該圓排列的長度，然後把每次不同的排列長度相比較，對min進行更新。

3、backtrack：當i>n時，演算法搜尋至葉節點，得到新的圓排列方案。此時演算法呼叫compute計算當前圓排列的長度，適時更新當前最優值。當i核心**

double
center
(int n)
return length;
}

void
compute()
if(high - low < min)
}

void
backtrack
(int t)
swap
(r[t]
, r[i]);
//全排列換回}}
}

時間複雜度由回溯法的排列樹可知，最壞情況下搜尋子結點的時間複雜度是o(n!)次，即全排列的時間複雜度。backtrack()函式每次計算圓排列長度需要o(n)計算時間。所以綜上，整個演算法的計算時間複雜性為o((n+1)!)。

雖然理論上時間複雜度很大，但實際的消耗實際由於增加了剪枝條件，會比o((n+1)!)小很多。

空間複雜度

o(n)

演算法還可以改進的地方

1、1,2,…, n和n,…,2,1這種互為映象的排列具有相同的圓排列長度，只計算乙個就夠了，可以減少約一半的計算量。

2、若所有圓的半徑均相同，則只需要計算乙個就夠了，而不用計算n!個完全相同的圓排列。

圓排列問題

圓排列問題

圓排列問題

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