c 字首和與差分

1、簡介

字首和也是乙個在比賽中比較實用的方法，他能很快得求出乙個區間的和，速度為o(1)。

一維的字首和陣列sum[ i ]就是存的是前i個數的總和。根據這個公式我們很容易得到x到y區間的總和就是sum[ y ] - sum[ x ]。

二維的字首和如sum[ i ][ j ]是指(i,j)點的左上角的矩陣的各數總和，及0 – i行且0 – j列的和。他可以快速的求出矩陣中任何乙個子矩陣的和，如求長為l且右下角頂點為(i,j)的正方形只需sum[ i ][ j ] - sum[ i ][ j - l ] - sum[ i - l ][ j ] + sum[ i - l ][ j - l ]。

2、**模板

//1.一維的字首和
for(
int i =
1;i <= n;i++
)	sum[i]
+= sum[i-1]
;	ans = sum[y]
- sum[x]
;//2.二維的字首和
for(
int i =
1;i <= n;i++
)for
(int j =
1;j <= m;j++
)		sum[i]
[j]+
= sum[i-1]
[j]+ sum[i]
[j-1
]- sum[i-1]
[j-1]]
;ans = sum[i]
[j]- sum[i-x]
[j]- sum[i]
[j-y]
+ sum[i-x]
[j-y]
;

3、經典例題

1.雷射炸彈

思路：用二維的字首和計算，求得矩陣的字首和後列舉所有邊長為r的情況，求出和的最大值即可。

#include
using
namespace std;
const
int n =
5010
;int f[n]
[n];
//f為求sum和的二維陣列
int n,r,h,l,x,y,w;
//n為點數，r為半徑，h l為最大的長和寬
intmain()
for(
int i =
1;i <= h;i++
)//求字首和
for(
int j =
1;j <= l;j++
)			f[i]
[j]+
= f[i-1]
[j]+ f[i]
[j-1
]- f[i-1]
[j-1];
int res =0;
for(
int i = r;i <= h;i++
)//求任意矩陣的和，列舉所有邊長為r的矩陣
for(
int j = r;j <= l;j++
)			res =
max(res,f[i]
[j]- f[i-r]
[j]- f[i]
[j-r]
+ f[i-r]
[j-r]);
cout << res << endl;
//res記錄最大的矩陣和即為答案
return0;
}

4、用處

快速求一維或二維陣列某區間的和

1、定義

差分就是陣列b對於陣列a有b[ 1 ] == a[ i ]，b[ i ] = a[ i ] - a[ i-1 ]（2 <= i <= n），b就是a的差分。

差分和字首和相反，在對陣列某區間進行操作時十分方便。

2、**模板

for
(int i =
0;i < n;i++
)	cin >> a[i]
;for
(int i = n-
1;i >
0;i--
)//從後往前迴圈
a[i]
-= a[i-1]
;//差分覆蓋a陣列

3、經典例題

1.增減序列

思路：通過對區間加一減一使得陣列的各數相同，就是指使陣列的差分2-n位都變成0。對區間[ a,b ]的數加一就等於對陣列的差分b[ a ] + 1且b[ b+1 ] - 1。

有了這個性質，我們就選b[ i ]和b[ j ]對i，j區間進行加或減的操作，為了使操作次數最小我們盡量選擇一正一負作為i，j區間，這樣一邊加，一邊減使得正負都接近0，操作次數就會減少，所以最少操作次數就是差分中2-n位的所有正數和與負數和的絕對值中的最大值。對於無法修改的數可以用b[ 1 ]或者b[ n+1 ]進行修改，結果數就是對正負數配對完後剩下的數加一。

#include
#include
using
namespace std;
const
int n =
100010
;int a[n]
,n;long
long
int pos,neg;
intmain()

2、最高的牛

思路：兩頭牛能夠看見，則說明這兩頭之間的牛的身高最高為兩邊的減一，每次輸入將中間的區間減一即可，但在輸入後先判重，檢查之前是否已經減過1了，就不用再次減一了。

#include
#include
using
namespace std;
const
int n =
10010
;int f[n]
,n,p,h,m;
setint,
int>
> judge;
//set判重，將兩端點a，b壓入pair
intmain()
))//如果之前沒輸過);
//標記
f[a+1]
--;//差分陣列的性質，區間[a,b]減一
f[b]++;
}}for(
int i =
1;i <= n;i++
)return0;
}

4、用處

方便對某區間進行加減操作

c 字首和與差分

字首和與差分

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字首和與差分

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