對於域 a
\mathbb a
a 上的 n
nn 階二元多項式矩陣 a(x
,y
)\mathbf a(x, y)
a(x,y)
，其中 x
xx 的次數都小於 a
aa，y
yy 的次數都小於 b
bb。我們想要求 deta
modx
amod
yb
\det \mathbf a \bmod x^a \bmod y^b
detamo
dxam
odyb
。其中主要問題在於消元的過程中，可能出現常數項為 0
00 的情況，如果是一元多項式我們還可以用低次消去高次的方法，但多元多項式就顯得要複雜了。
因此我們考慮構造佔位多項式 xiy
j→xi
yjti
+j
x^iy^j \rightarrow x^iy^jt^
xiyj→x
iyjt
i+j，在這樣的情況下我們做插值，問題就變為了 abab
ab個 a+b
a+ba+
b 次一元多項式矩陣的行列式問題，因此我們通過低次消去高次的方法就可以完成消元。樸素實現是 θ(n
3(a+
b)2a
b)
\theta(n^3(a+b)^2ab)
θ(n3(a
+b)2
ab)，如果使用 fft，那麼就變成了 θ(n
3(a+
b)ab
log(a
+b))
\theta(n^3(a+b)ab\log (a+b))
θ(n3(a
+b)a
blog(a
+b))
。這個方法也可以用於更多元的情況，其實如果上來就讓你解決子集卷積的形式，可能反而容易想到。
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