矩陣分解演算法框架：
矩陣分解演算法將mxn的共現矩陣r分解為mxk維的使用者矩陣u和kxn維的物品矩陣v相乘的形式，其中m是使用者數量,n是物品數量，k是隱向量的維度。k的大小決定了隱向量表達能力的強弱，k的取值越小，隱向量包含的資訊越少，模型泛化能力越高，反之，k越大，包含的資訊越大，模型的泛化能能力越小。此外，k的取值還與矩陣分解的求解複雜度直接相關。
基於使用者矩陣u和物品矩陣v，使用者u對物品i的預估值：
pu是使用者u在使用者矩陣u中的對應行向量,qi是物品i在物品矩陣v中的對應列向量。
2.3.2矩陣分解的求解過程
對矩陣分解的方法主要有三種：特徵值分解、奇異值分解、和梯度下降，但是特徵值分解只能用於方陣，不適用於使用者-物品矩陣。
svd分解的具體過程：
假設矩陣m是乙個mxn的矩陣，則一定存在乙個分解
取對角陣
svd的缺點：
1，奇異值分解要求原始的共現矩陣是稠密的，但，實際情況，使用者-專案矩陣是稀疏的。如果應用奇異值分解，就必須對其進行缺失值填充。
2，傳統的奇異值分解的計算複雜度達到了o(mn2)的級別，這對商品數量動輒上百萬、千萬的網際網路幾乎不可能接受。
svd的目標函式：
svd梯度下降求解目標函式
1，確定目標函式
2，對目標函式求偏導
結果：對qi求偏導：
對pu求偏導
3，利用2求導的結果，沿梯度的反方向更新引數：
4，當迭代達到上限n時，或者低於設定的閾值時，結束訓練，否則迴圈第3步驟。
當矩陣分解完成分解過程後，即可得到使用者和物品的隱向量。在對某使用者進行推薦時，可以利用該使用者的隱向量進行逐行統一內積運算，得出該使用者對所有物品的評分**，再次依次進行排序，得到最終的推薦列表。
因此矩陣分解較協同過濾有更好的泛化能力，由於隱向量的存在，使得任意的使用者和物品之間都可以得到**值，隱向量的生成其實是對共現矩陣進行全域性擬合的過程，因此隱向量其實是利用全域性資訊生成的，有更強的泛化能力。
2.3.3消除使用者和物品的打分偏差
為消除使用者和物品之間存在的打分偏差則有
第一項是全域性偏差，bi是物品偏差（物品i收到的所有評分的均值），bu是使用者偏差（使用者所有評分的均值），此時矩陣分解的目標函式為：
矩陣分解的優缺點：
優點：
1，泛化能力強，在一定程度上解決了資料稀疏的問題
2，空間複雜度低：不需要儲存龐大的使用者和物品的相似度矩陣，只需要儲存使用者和物品的隱向量。
3，更好的擴充套件性和靈活性：分解後得到使用者和物品的隱向量，便於深度學習網路進行無縫結合。
缺點：
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