時間複雜度解析

演算法，作為乙個programmer應該再清楚不過。乙個演算法的好壞是依靠什麼標準來評判的呢？那就是時間複雜度和空間複雜度。

今天就來**下時間複雜度，什麼是時間複雜度呢？

在電腦科學中，時間複雜性，又稱時間複雜度，演算法的時間複雜度是乙個函式，它定性描述該演算法的執行時間。這是乙個代表演算法輸入值的字串的長度的函

數。時間複雜度常用大o符號表述，不包括這個函式的低階項和首項係數。使用這種方式時，時間複雜度可被稱為是漸近的，亦即考察輸入值大小趨近無窮時的

直接這麼看太過晦澀難以理解，我們可以拆分成各個知識小塊來理解，然後再回頭看就會恍然大悟。

我們假設計算機執行一行基礎**需要執行一次運算。

int
afunc
(void
)

int
afunc
(int n)
return0;
// 需要執行 1 次
//總共是 n + 1 + (n * 1) + 1 = 2n + 2次運算
}

時間頻度相信大家都有所認識了。但是在相同**中，不同輸入值仍可能造成演算法的執行時間不同，因此我們通常使用演算法的最壞情況複雜度，記為t(n)，定義為任何大小的輸入n所需的最大時間頻度。（這是只考慮一種演算法中時間頻度多的那種情況）

時間頻度 t(n)的幾種自然特性：

線性：t(n) = 3n

void
afunc
(int n)
//總共是(1 * n) + (1 * n) + (1 * n) = 3n次運算
}

對數：t(n) = 2logn

擴充知識點:對數函式

void
afunc
(int n)
//總共是logn + logn = 2logn次運算
}

常數：t(n) = 1

void
afunc
(int n)
//無論n是多少，程式都只執行一次

多項式：t(n) = 0.5n² + 0.5n

擴充知識點:等差數列

void
afunc
(int n)
system.out.
println
("hello world!");
//需要執行n * 1次}}
//總共是(1 + 2 + n-2 + n-1) + n = n(n + 1)/2 = 0.5n² + 0.5n次運算

相信現在大家應該對時間複雜度有所理解，但是別著急，我們繼續往下看。

大o表示法：演算法的時間複雜度通常用大o符號表述，定義為t[n] = o(f(n))。稱函式t(n)以f(n)為界或者稱t(n)受限於f(n)。 如果乙個問題的規模是n，
解這一問題的某一演算法所需要的時間為t(n)。t(n)稱為這一演算法的「時間複雜度」。當輸入量n逐漸加大時，時間複雜度的極限情形稱為演算法的「漸近時間復

看到這是否有同學不理解了。我先舉個例子：現在假設有一段**的時間頻度為t(n) = n + 2，又有某個輔助函式f(n) = n²，當n趨近於無窮大時，t（n) / f (n)的極限值為不等於零的常數，則稱f(n)是t(n)的同數量級函式。記作t(n)=o(f(n)),而o(f(n))則為演算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。

在各種不同演算法中，若演算法中語句執行次數為乙個常數，則時間複雜度為o(1),另外，在時間頻度不相同時，時間複雜度有可能相同，如t(n) = n + 2與t(n) = n + 4它們的頻度不同，但時間複雜度相同，都為o(f(n))。

在明白了什麼是時間複雜度之後，我們還需要了解如何計算時間複雜度。

1、省略常數項

int
afunc
(void
)//t(n) = 2n 時間複雜度為 o(n)

2、忽略低次項

//t(n) = n² + n 時間複雜度為 o(n²)

3、只保留最高次項，同時忽略最高項的係數

void
afunc
(int n)
system.out.
println
("hello world!");
//需要執行n * 1次}}
//t(n) = 0.5n² + 0.5n 時間複雜度為 o(n²)

總結：如果乙個演算法的執行次數是 t(n)，那麼只保留最高次項，同時忽略最高項的係數後得到函式 f(n)，此時演算法的時間複雜度就是 o(f(n))。無論是順序執行的演算法還是含有條件判斷的演算法，我們都按演算法最壞情況複雜度來計算。如果涉及到函式呼叫，則需要把呼叫的函式一併按照上面的規則加進去來計算時間複雜度。

大家可以自己嘗試著來算一算自己寫的演算法的時間複雜度是多少，從而進一步的加深對時間複雜度的理解，也能有目的性的去設計自己的演算法。

一套圖搞懂「時間複雜度」

時間複雜度

大o表示法

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