可以從兩個方面證明該定理，第一種，借助相似矩陣擁有相同特徵值的結論進行（要求 a,b
a,ba,
b 是可逆的）；第二種，則從公式 abx
=λ
xabx=\lambda x
abx=λx
著手。先講第一種。假設 a,b
a,ba,
b 是可逆的。我們知道矩陣 a
aa 相似於矩陣 p−1
ap
p^ap
p−1a
p，其中 p
pp 為任意的可逆矩陣。所以也存在任意乙個可逆矩陣 m
mm 使得 abab
ab相似於 m−1
ab
mm^abm
m−1abm
，當我們令 m=a
m=am=
a 時有 m−1
abm=
ba
m^abm=ba
m−1abm
=ba，即 abab
ab相似於 baba
ba，進而得證 abab
ab與 baba
ba具有相同的特徵值，而且此時的特徵值均不為零。
第二種，記 a,b
a, b
a,b 分別為 m×n
m \times n
m×n 和 n×m
n \times m
n×m 的矩陣，這裡不要求 a,b
a, b
a,b 均是方陣(即不要求 m=n
m = n
m=n)， 從而 a,b
a, b
a,b 也不需要是可逆的 。給定 abab
ab的特徵值和特徵向量 λ,x
\lambda,x
λ,x，使得 abx
=λ
xabx=\lambda x
abx=λx
，式子兩端左乘乙個 b
bb，得：
b ab
x=λb
x(1)
babx = \lambda bx \tag
babx=λ
bx(1
)當 λ≠0
\lambda \neq 0
λ=
0 時，根據式(1)
(1)(1
)，可知 λ
\lambda
λ 也是 baba
ba的特徵值，這時 baba
ba的特徵向量是 bxbx
bx，即 abab
ab與 baba
ba具有相同的非零特徵值 λ
\lambda
λ.綜上，得證矩陣 abab
ab與 baba
ba具有相同的非零特徵值。
矩陣A B（矩陣相加）
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求a的b次方，a b
求 a 的 b 次方對 p 取模的值。輸入格式 三個整數 a,b,p 在同一行用空格隔開。輸出格式 輸出乙個整數，表示a b mod p的值。資料範圍 1 a,b,p 10e9 輸入樣例 3 2 7輸出樣例 2 includeusing namespace std include include i...