演算法3 遞迴

簡介：任何乙個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模n有關。問題的規模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。

分治法的設計思想是，將乙個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。

如果原問題可分割成k個子問題（1＜k≤n），且這些子問題都可解，並可利用這些子問題的解求出原問題的解，那麼這種分治法就是可行的。

由分治法產生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞迴技術提供了方便。

fibonacci數列的遞迴演算法：

int

fib(
int n)

fibonacci數列的遞推演算法：

int  fib[50]

;void
fibonacci
(int n)

令ri=r-。集合x中元素的全排列記為perm(x)，則(ri)perm(x) 表示在全

排列perm(x)的每乙個排列前加上字首ri得到的排列。

r的全排列可歸納定義如下:

當n=1時，perm（r）=（r）, 其中r是集合r中唯一的元素;

當n>1時，perm（r） 由(r1)perm(r1)，(r2)perm(r2), ···，(rn )perm(n)構成。

依此遞迴定義，可設計產生perm（r）的遞迴演算法。

演算法：

#include

using
namespace std;
void
perm
(int list,
int k,
int m)
cout<}else}}
intmain()
;perm
(a,2,4
);for(
int i=
2;i<=
4;i++
)}

正整數n的這種表示稱為正整數n的劃分。正整數n的不同劃分個數稱為正整數n的劃分數，記作p(n) 。

正整數6有如下11種不同的劃分，所以 。

65+1

4+2, 4+1+1

3+3, 3+2+1, 3+1+1+1

2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1

演算法分析：

如果中的最大加數s不超過m,即s=max(n1,n2, … ni)≤m，則稱它屬於n的乙個m劃分。我們記n的m劃分的個數為f(n,m)。該問題就轉化為求n的所有劃分個數f(n, n)。我們可以建立f(n, m)的遞迴關係:

1、f(1,m)=1, m≥1

當n=1時，不論m的值為多少(m>0),只有一種劃分即1個1。

2、f(n,1)=1, n≥1

當m=1時，不論n的值為多少(n>0),只有一種劃分即n個1。

3、f(n,m)= f(n,n), m≥n

最大加數s實際上不能超過n。例如，f(3,5)= f(3, 3)。

4、f(n,n)=1+ f(n,n-1)

正整數n的劃分是由s=n的劃分和s≤n-1的劃分構成。例如，f(6,6)=1+ f(6,5)。

5、 f(n,m)= f(n,m-1)+ f(n-m, m)，n>m> 1

正整數n的最大加數s不大於m的劃分,是由s =m的劃分和s≤m - 1的劃分組成。

#include

using
namespace std;
intsplit
(int n,
int m)
else
if(nelse
if(n==m)
else
}int
main()

• 遞迴樹是迭代計算的模型.

• 遞迴樹的生成過程與迭代過程一致.

• 遞迴樹上所有項恰好是迭代之後產

生和式中的項.

• 對遞迴樹上的項求和就是迭代後方

程的解.

生成規則：

• 初始，遞迴樹只有根結點, 其值為w(n)

• 不斷繼續下述過程：

將函式項葉結點的迭代式w(m)表示成二 層子樹

用該子樹替換該葉結點

• 繼續遞迴樹的生成，直到樹中無函式項

(只有初值)為止.

演算法分析與設計3 遞迴

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