LeetCode 221 最大正方形

在乙個由 0 和 1 組成的二維矩陣內，找到只包含 1 的最大正方形，並返回其面積。

示例:輸入:

1 0 1 0 0

1 0 1 1 1

1 1 1 1 1

1 0 0 1 0

輸出: 4

class solution }}
return max*max;}}

class solution 
cur[j - 1] = 0;// 本行用不到的結果置0，為下一行做準備。
}pre[n] = cur[n];
cur[n] = 0;
}return max*max;}}

暴力求解法：

由於正方形的面積等於邊長的平方，因此要找到最大正方形的面積，首先需要找到最大正方形的邊長，然後計算最大邊長的平方即可。

該方法簡單直觀，具體思路如下：

*遍歷矩陣中的每個元素，每次遇到1，則將該元素作為正方形的左上角

*確定正方形的左上角後，根據左上角所在的行和列計算可能的最大正方形的邊長（正方形的範圍不能超過矩陣的行數和列數），在該邊上範圍內尋找只包含1的最大正方形。

*每次在下方新增一行以及在右方新增一列，判斷新增的行和列是否滿足所有元素都是 11。

class solution 
int row = matrix.length,columns = matrix[0].length;
for(int i = 0; i < row; i++)
for(int m = 0; m < k; m++)
}if(flag)else}}
}}int maxsquare = maxside * maxside;
return maxsquare;}}

複雜度分析

時間複雜度：o(mn \min(m,n)^2)o(mnmin(m,n)

2)，其中 mm 和 nn 是矩陣的行數和列數。

需要遍歷整個矩陣尋找每個 11，遍歷矩陣的時間複雜度是 o(mn)o(mn)。

對於每個可能的正方形，其邊長不超過 mm 和 nn 中的最小值，需要遍歷該正方形中的每個元素判斷是不是只包含 11，遍歷正方形時間複雜度是 o(\min(m,n)^2)o(min(m,n) 2)。

總時間複雜度是 o(mn \min(m,n)^2)o(mnmin(m,n) 2)。

空間複雜度：o(1)o(1)。額外使用的空間複雜度為常數。

方法二：動態規劃

方法一雖然直觀，但是時間複雜度太高，有沒有辦法降低時間複雜度呢？

可以使用動態規劃降低時間複雜度。我們用 dp(i, j)dp(i,j) 表示以 (i, j)(i,j) 為右下角，且只包含 11 的正方形的邊長最大值。如果我們能計算出所有 dp(i, j)dp(i,j) 的值，那麼其中的最大值即為矩陣中只包含 11 的正方形的邊長最大值，其平方即為最大正方形的面積。

那麼如何計算 dpdp 中的每個元素值呢？對於每個位置 (i, j)(i,j)，檢查在矩陣中該位置的值：

如果該位置的值是 00，則 dp(i, j) = 0dp(i,j)=0，因為當前位置不可能在由 11 組成的正方形中；

如果該位置的值是 11，則 dp(i, j)dp(i,j) 的值由其上方、左方和左上方的三個相鄰位置的 dpdp 值決定。具體而言，當前位置的元素值等於三個相鄰位置的元素中的最小值加 11，狀態轉移方程如下：

dp(i, j)=min(dp(i−1, j), dp(i−1, j−1), dp(i, j−1))+1

dp(i,j)=min(dp(i−1,j),dp(i−1,j−1),dp(i,j−1))+1

如果讀者對這個狀態轉移方程感到不解，可以參考 1277. 統計全為 1 的正方形子矩陣的官方題解，其中給出了詳細的證明。

此外，還需要考慮邊界條件。如果 ii 和 jj 中至少有乙個為 00，則以位置 (i, j)(i,j) 為右下角的最大正方形的邊長只能是 11，因此 dp(i, j) = 1dp(i,j)=1。

以下用乙個例子具體說明。原始矩陣如下。

0 1 1 1 0

1 1 1 1 0

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

對應的 dpdp 值如下。

0 1 1 1 0

1 1 2 2 0

0 1 2 3 1

0 1 2 3 2

0 0 1 2 3

下圖也給出了計算 dpdp 值的過程。

複雜度分析

時間複雜度：o(mn)o(mn)，其中 mm 和 nn 是矩陣的行數和列數。需要遍歷原始矩陣中的每個元素計算 dp 的值。

空間複雜度：o(mn)o(mn)，其中 mm 和 nn 是矩陣的行數和列數。建立了乙個和原始矩陣大小相同的矩陣 dp。由於狀態轉移方程中的 dp(i, j)dp(i,j) 由其上方、左方和左上方的三個相鄰位置的 dpdp 值決定，因此可以使用兩個一維陣列進行狀態轉移，空間複雜度優化至 o(n)o(n)。

LeetCode 221 最大正方形

LeetCode221 最大正方形

Leetcode 221 最大正方形

LeetCode 221 最大正方形

LeetCode 221 最大正方形

LeetCode221 最大正方形

Leetcode 221 最大正方形

LeetCode 221 最大正方形

相關推薦