首先，對於簡單的凸函式的相加，凸函式求最大值，都是能夠保證函式的凸性的，相比而言，復合函式就較為複雜了。
給定函式f:r
k→rf:r^k\rightarrow r
f:rk→r
以及g :r
n→rk
g:r^n\rightarrow r^k
g:rn→r
k，我們定義復合函式f=h
⋅g:r
n→rf=h\cdot g:r^n\rightarrow r
f=h⋅g:
rn→r
為：f(x)
=h(g
(x))
,dom
f=f(x)=h(g(x)), dom f=\
f(x)=h
(g(x
)),d
omf=
我們考慮當復合函式保持凸性或者凹性時，兩個函式分別應該滿足什麼樣的條件。
標量
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標量對標量而言，上述方程我們直接求二階導進行判定即可，復合函式的二階倒數為
f ′′
(x)=
h′′(
g(x)
)g′(
x)2+
h′(g
(x))
g′′(
x)f''(x)=h''(g(x))g'(x)^2+h'(g(x))g''(x)
f′′(x)
=h′′
(g(x
))g′
(x)2
+h′(
g(x)
)g′′
(x)如果這個值恆大與0，那麼函式就滿足凸函式的性質，那麼我們有以下結論：
e注意上述結論成立的條件：g,h
g,hg,
h都是二次可微的，而且他們的定義域都是r
rr。事實上，對於更一般的情況，n
>
1n>1
n>
1，不再侷限於一維空間，也不再假設g,h
g,hg,
h可微或者dom
g∈rn
,dom
h∈rdom g\in r^n,dom h\in r
domg∈r
n,do
mh∈r
，一些相似的復合規則仍然成立。
這裡需要用到函式的拓展，將函式的定義域拓展到整個r
nr^n
rn空間顯然會使得我們的分析更加簡單。h
~\widetilde h
h即hh
h函式的拓展，如果點g(x
)g(x)
g(x)
不在定義域中，而且h
hh是凸函式，那麼對其賦值為∞
\infty
∞（保持h
hh的凸性）。反之如果h
hh是凹函式，那麼對其賦值為−
∞-\infty
−∞。可以看到，這裡和上面唯一的不同就在於，我們對h
hh函式進行了擴充套件，使其在整個空間內非增或者非減。
函式擴充套件的注意事項
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函式擴充套件的注
意事項需要注意的是，函式的擴充套件非常重要，我們需要h
~\widetilde h
h在整個空間內有單調性，而不只是在定義域內
考慮如下函式：
顯然在定義域內h
hh是不增不降的，既是凸函式也是凹函式，如果我們根據上述條件，只考慮h
~\widetilde h
h在定義域內的單調性的話，顯然復合函式即可以使用第一條性質也可以使用第二條性質，但是實際上，這個函式既不是凸函式，也不是凹函式，因為他連定義域都不是凸的：
而且當我們對他進行函式擴充套件時可以發現無論是進行凸擴充套件還是凹擴充套件，他的h
~\widetilde h
h始終是不具有單調性的，因此該函式既沒有凸性，也沒有凹性。again，h
~\widetilde h
h必須在整個空間內具有單調性。
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example
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simple
exam
ple
簡單的復合結論
\textbf\color
簡單的復合結
論
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