C 用蠻力法與分治法解決最近對問題

2021-10-05 08:21:54 字數 3119 閱讀 9091

設 p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，……，pn(xn,yn)是平面上n個點構成的集合s，最近對問題就是找出集合s中距離最近的點對。嚴格地講，最接近點對可能多於一對，簡單起見，只找出其中的一對即可。

簡單起見，只考慮二維的情況並假設所討論的點以標準笛卡爾座標形式給出。因此，兩個點pi（xi，yi）和pj（xj，yj）之間的距離是歐幾里得距離（euclidean distance）：

蠻力法求解最近對問題的過程是顯而易見的：分別計算每一對點之間的距離，然後找出距離最小的那一對。為了避免對同一對點計算兩次距離，可以只考慮i**如下：

#include


#include


using


namespace std;


double


closestpoints


(double x,


double y,


int n)}}


cout<<


"最近的點對是


<


","<


">和


<


","<


">，"


;return mindist;


}int


main()


mindist=


closestpoints


(x,y,n)


;	cout<<


"其距離為："


<<


sqrt


(mindist)


<


return0;


}
演算法closestpoints的基本語句是計算兩個點的歐幾里得距離，該語句的主要操作是求平方，其執行次數為：

在利用分治法思想解決此問題時，首先考慮將最近對問題進行分治，設計其分治策略。將集合s分成兩個子集s1和s2，根據平衡子問題原則，每個子集中的點數大致都為n/2。這樣分治後，最近點對將會出現三種情況：在s1中，在s2中或者最近點對分別在集合s1和s2中。利用遞迴分析法分別計算前兩種情況，第三種方法另外分析。求解出三類子情況後，再合併三類情況，比較分析後輸出三者中最小的距離。

**如下：

#include


#include


#include


#include


#include


using


namespace std;


struct point   //點結構 


;double


distance


(point a,point b)


bool


cmp1


(point a,point b)


//按x座標公升序排列 


bool


cmp2


(point a,point b)


//按y座標公升序排列 


double


closest


(point s,


int low,


int high,point rec)


if(high-low==2)


//只有三個點，求最近對距離 


else


if(d2


else


}     mid=


(low+high)/2


;//計算中間點 


d1=closest


(s,low,mid,rec)


;//遞迴求解子問題1 


temp1[0]


=rec[0]


;    temp1[1]


=rec[1]


;    d2=


closest


(s,mid+


1,high,rec)


;//遞迴求解子問題2 


temp2[0]


=rec[0]


;    temp2[1]


=rec[1]


;if(d1


//以下為求解子問題3


else


index=0;


for(i=mid;


(i>=low)


&&(s[mid]


.x-s[i]


.x;i--


)//建立點集合p1


for(i=mid+1;


(i<=high)


&&(s[i]


.x-s[mid]


.x;i++


)//建立點集合p2


sort


(p,p+index,cmp2)


;//對集合p1和p2按y座標公升序排列                


for(i=


0;i)//依次處理集合p1和p2中的點 


else}}


}return d;


}int


main()


sort


(p,p+n,cmp1)


;	point index[2]


;    mindist=


closest


(p,0


,n-1


,index)


;    cout<<


"最小距離點對為：


<


.x<<


","<


.y<<


">,


<


.x<<


","<


.y<<


">"


<


cout<<


"最小距離為："


<


//輸出點對的最小問題


return0;


}
應用分治法求解含有n個點的最近對問題，由於劃分階段的情況1和情況2可遞迴求解，情況3的時間代價是o（n），合併子問題解的時間代價是o（1），則演算法的時間複雜性可用下面的遞推式表示：

根據主定理可得：

用分治法解決最近對問題

1.問題描述 給出在同乙個平面內所有點的座標，然後找出這些點中最近的兩個點的距離。2.解析 將所給平面上n個點的集合s分成兩個子集s1和s2，每個子集中約有n 2個點。然後在每個子集中遞迴地求最接近的點對。在這裡，乙個關鍵的問題是如何實現分治法中的合併步驟，即由s1和s2的最接近點對，如何求得原集合...

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