這裡引用乙個大家從小就聽過的小故事。
傳說，印度的舍罕國王打算重賞西洋棋的發明人——大臣西薩·班·達依爾。這位聰明的大臣跪在國王面敢說：「陛下，請你在這張棋盤的第乙個小格內，賞給我一粒麥子，在第二個小格內給兩粒，在第三個小格內給四粒，照這樣下去，每一小格內都比前一小格加一倍。陛下啊，把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的僕人吧?」國王說：「你的要求不高，會如願以償的」。說著，他下令把一袋麥子拿到寶座前，計算麥粒的工作開始了。……還沒到第二十小格，袋子已經空了，一袋又一袋的麥子被扛到國王面前來。但是，麥粒數一格接一格地增長得那樣迅速，很快看出，即使拿出來全印度的糧食，國王也兌現不了他對象棋發明人許下的語言。這個故事中的計算麥粒的方法，在數學上是有對應方法的，這也正是這篇文章要講的概念——迭代法（iterative method）。
那麼到底什麼是迭代法呢？
簡單來說，迭代法就是不斷地用舊的變數值，遞推計算新的變數值。
我們回到這個西洋棋的故事，大臣要求每一格的麥子都是前一格的兩倍，那麼前一格里麥子的數量就是舊的變數值，我們可以先記作 xn-1 ；而當前格仔裡麥子的數量就是新的變數值，我們記作 xn 。這兩個變數的遞推關係如下?
有程式設計經驗的人很容易就想到，迭代的思想可以通過計算機語言中的迴圈語句來實現。計算機本身就很適合做重複性的工作，我們可以通過迴圈語句，讓計算機重複執行迭代中的遞推步驟，然後推導出變數的最終值。
這裡我用c語言實現一下這個迭代過程。
#include
long
getnumberofwheat
(int grid)
;long
getnumberofwheat
(int grid)
return sum;
}int
main()
測試結果如下?
大體上，迭代法可以運用在以下幾個方面：
在這裡我主要說一下求數值的解和查詢匹配記錄這兩個應用。
迭代法在數學和程式設計中的應用有很多，如果只能用來計算龐大的數字，那就太暴殄天物了。
迭代還可以幫助我們進行無窮地逼近，求得方程的精確或者近似解。
比如說，我們想計算某個給定正整數 n（n > 1）的平方根，如果不用程式語言自帶的函式，要怎麼做呢？
假設有正整數 n ，這個平方根一定小於 n 本身，並且大於 1。那麼這個問題就轉化成了，在 1 到 n 之間，找乙個數字等於 n 的平方根。
這裡我採用迭代中常見的二分法。每次檢視區間內的中間值，檢驗它是否符合標準。
同樣的，我用c語言來簡單實現一下這個功能。
#include
#include
double
getsqureroot
(int number,
int maxtry,
double threshold)
;double
getsqureroot
(int number,
int maxtry,
double threshold)
for(i =
0; i < maxtry; i++
)else
else}}
return
-2.0;}
intmain()
elseif(
-2.0
== squreroot)
else
return0;
}
middle =
(max - min)/2
+ min
(max + min) / 2，是因為如果max和min都已經接近資料的極限，兩個數相加就會溢位，所以替換成了先減，然後用兩個數的差的二分之一再加，這樣就不會溢位了。兩個式子化簡下來其實是一樣的。
int maxtry是最多嘗試的次數，防止程式耗時太久。double threshold是精度，也是乙個保護機制，如果找不到精確解，誤差小於規定的精度也可以退出迴圈。
delta =
fabs
(squre / number -1)
;
這就是二分迭代法。這裡我簡單地提一下牛頓迭代法。
牛頓迭代法是牛頓在17世紀提出的一種方法，用於求方程的近似解。這種方法以微分為基礎，每次迭代的時候，它都會去找到比上乙個值 x0 更接近的方程的根，最終找到近似解。該方法及其延伸也被應用在機器學習的演算法中，在我後面的文章中，我會詳細講解。
二分法中的迭代式逼近，不僅可以幫我們求得近似解，還可以幫助我們查詢匹配的記錄。這裡我舉乙個查通訊錄的例子。
比如你有一本通訊錄，按照名字的首字母從a到z排列。
如果你要查詢乙個名字，自然要從中間開始，如果中間的字母在要找的名字的前面，那就可以不用管前半邊了，直接從後半部分再取中間，然後看字母的順序。就這樣持續地迭代式查詢，直到範圍縮小到單個的名字。如果最終仍然無法找到，則返回不存在。
這個方法的整體思路和二分法求解平方根是一致的，主要區別在兩個方面：
第一，每次判斷是否終結迭代的條件不同。求平方根的時候我們需要判斷某個數的平方是否和輸入的資料一致。而這裡，我們需要判斷通訊錄中某個單詞是否和待查的單詞相同；
第二，二分查詢需要確保被搜尋的空間是有序的。
這裡我就不寫**了，因為道理都是一樣的。
關於迭代法的內容就完了，日常的程式設計中我們要多觀察問題的現象，思考其本質，看看不斷更新變數值或者縮小搜尋的區間範圍，是否可以獲得最終的解（或近似解、區域性最優解），如果是，那就可以嘗試迭代法。
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