線段樹總結

一、線段樹的概論

二、線段樹的性質

三、線段樹的建樹

四、線段樹的單點修改

五、線段樹的區間查詢

六、線段樹的區間修改

七、**實現

假設有編號從1到n的n個點，每個點都存了一些資訊，用[l,r]表示下標從l到r的這些點。

線段樹的用處就是，對編號連續的一些點進行修改或者統計操作，修改和統計的複雜度都是o(log2(n)).

線段樹的原理，就是，將[1,n]分解成若干特定的子區間,然後，將每個區間[l,r]都分解為少量特定的子區間，通過對這些少量子區間的修改或者統計，來實現快速對[l,r]的修改或者統計。

由此看出，用線段樹統計的東西，必須符合區間加法，否則不可能通過分成的子區間來得到[l,r]的統計結果。

符合區間加法的例子：

數字之和——總數字之和 = 左區間數字之和 + 右區間數字之和

最大值——總最大值=max(左區間最大值，右區間最大值)

不符合區間加法的例子：

眾數——只知道左右區間的眾數，沒法求總區間的眾數

如果觀察一下線段樹(無奈這裡木有圖)，會發現除去線段樹的最後一層，整顆線段樹是一顆完全二叉樹，樹深為o(logn)，因此我們可以用「父子二倍」標號方法：

1.根節點編號為1

2.編號為x的節點的左子節點編號為x*2，右子節點編號為x*2+1

線段樹的基本用途是對序列進行維護，支援查詢與修改指令。給定乙個長度為n的序列a，我麼可以在序列[1,n]上建立一顆線段樹，每個葉節點[i,]儲存a[i]的值。線段樹的二叉樹結構可以很方便地從下往上傳遞資訊。以區間最大值為例，d(l,r)等於max，顯然d(l,mid)=max(d(l,mid),d(mid+1,r))

下面的**建立了線段樹並保留了最大值：

單點修改是一條形如「c x v"的指令，表示把a[x]的值修改為v

時間複雜度為o(logn)

區間查詢是一條形如」q l r"的指令，例如查詢序列a在區間[l,r]上的最大值，即max.我們只需要從根節點開始

1.若「l,r"完全覆蓋了當前節點代表的空間，則立即回溯，並且將該節點的值為候選答案

2.若左子節點與[l,r]有重疊部分，則遞迴左子節點

3.若右子節點與[l,r]有重疊部分，則遞迴右子節點

線段樹的區間修改也是將區間分成子區間，但是要加乙個標記，稱作懶惰標記（lazy_tag)。

標記的含義：本節點的統計資訊已經根據標記更新過了，但是本節點的子節點仍需要進行更新。

即，如果要給乙個區間的所有值都加上k，那麼，實際上並沒有給這個區間的所有值都加上k，而是打個標記，記下來，這個節點所包含的區間需要加k.打上標記後，要根據標記更新本節點的統計資訊，比如，如果本節點維護的是區間和，而本節點包含5個數，那麼，打上+k的標記之後，要給本節點維護的和+5k。

（1）定義

#define n 100005
int a[n],n,n;//原陣列
int sum[n<<2];
int add[n<<2];//懶惰標記

(2)建樹

void pushup(int rt) 
void build(int l,int r,int rt)
int m=(l+r)>>1;
//左右遞迴 
build(l,m,rt<<1);
build(m+1,r,rt<<1|1);
//更新 
pushup(rt);
}

(3)點修改

void update(int l,int c,int l,int r,int rt)
int m=(l+r)>>1;
//根據條件判斷往左子樹呼叫還是往右 
if(l <= m) update(l,c,l,m,rt<<1);
else update(l,c,m+1,r,rt<<1|1);
pushup(rt);//子節點更新了，本節點也需要更新資訊 
}

(4)下推標記

void pushdown(int rt,int ln,int rn)
}

(5)區間修改

void update(int l,int r,int c,int l,int r,int rt)
int m=(l+r)>>1;
pushdown(rt,m-l+1,r-m);//下推標記
//判斷左右子樹跟[l,r]有無交集 
if(l <= m) update(l,r,c,l,m,rt<<1);
if(r >  m) update(l,r,c,m+1,r,rt<<1|1); 
pushup(rt);//更新
}

(6)區間查詢

int query(int l,int r,int l,int r,int rt)
int m=(l+r)>>1;
//下推標記
pushdown(rt,m-l+1,r-m); 
int ans=0;
if(l <= m) ans+=query(l,r,l,m,rt<<1);
if(r > m) ans+=query(l,r,m+1,r,rt<<1|1);
return ans;
}

(7)函式呼叫

//建樹 
build(1,n,1); 
//點修改
update(l,c,1,n,1);
//區間修改 
update(l,r,c,1,n,1);
//區間查詢 
int ans=query(l,r,1,n,1);

線段樹 總結

線段樹總結

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