線段樹總結

線段樹能解決哪些問題：

下面給出線段樹的幾個應用：

（1）有一列數，初始值全部為0。每次可以進行以下三種操作中的一種：

a. 給指定區間的每個數加上乙個特定值；

b.將指定區間的所有數置成乙個統一的值；

c.詢問乙個區間上的最小值、最大值、所有數的和。

給出一系列a.b.操作後，輸出c的結果。

[問題分析]

這個是典型的線段樹的應用。在每個節點上維護一下幾個變數：delta（區間增加值），same（區間被置為某個值），min（區間最小值），max（區間最大值），sum（區間和），其中delta和same屬於「延遲標記」。

（2）在所有不大於30000的自然數範圍內討論乙個問題：已知n條線段，把端點依次輸入給你，然後有m（≤30000）個詢問，每個詢問輸入乙個點，要求這個點在多少條線段上出現過。

[問題分析]

這個題目也告訴我們，有的題目儘管可以使用線段樹處理，但是如果我們能夠抓住題目的特點，就可能獲得更加優秀的演算法。

（3）某次列車途經c個城市，城市編號依次為1到c，列車上共有s個座位，鐵路局規定售出的車票只能是坐票，即車上所有的旅客都有座，售票系統是由計算機執行的，每乙個售票申請包含三個引數，分別用o、d、n表示，o為起始站，d為目的地站，n為車票張數，售票系統對該售票申請作出受理或不受理的決定，只有在從o到d的區段內列車上都有n個或n個以上的空座位時該售票申請才被受理，請你寫乙個程式，實現這個自動售票系統。

[問題分析]

（4）給乙個n*n的方格棋盤，初始時每個格仔都是白色。現在要刷m次黑色或白色的油漆。每次刷漆的區域都是乙個平行棋盤邊緣的矩形區域。

輸入n,m,以及每次刷漆的區域和顏色，輸出刷了m次之後棋盤上還有多少個棋格是白色。

[問題分析]

首先我們從簡單入手，考慮一維的問題。即對於乙個長度為n的白色線段，對它進行m次修改（每次更新某一子區域的顏色）。問最後還剩下的白色區域有多長。

對於這個問題，很容易想到建立一棵線段樹的模型。複雜度為o(mlgn)。

擴充套件到二維，需要把線段樹進行調整，即首先在橫座標上建立線段樹，它的每個節點是一棵建立在縱座標上的線段樹（即樹中有樹。稱為二維線段樹）。複雜度為o(m(logn)^2)。

4、總結

利用線段樹，我們可以高效地詢問和修改乙個數列中某個區間的資訊，並且**也不算特別複雜。

但是線段樹也是有一定的侷限性的，其中最明顯的就是數列中數的個數必須固定，即不能新增或刪除數列中的數。

線段樹的模板：

一，根據題目建樹：

const int max = 1000000+10;
struct node
tree[max*3];//要開大一點
void pushup(int o)//更新當前節點的值
void build(int o,int l,int r)
int mid = (l+r) >> 1;       //找到中間節點 
build(o*2 , l , mid);       //遞迴建左子樹 
build(o*2+1 , mid+1 , r);       //遞迴建右子樹 
pushup(o);      //更新當前節點的值 
}

二：更新某個節點的資料：（把x節點更新為y）

void update(int o,int l,int r,int x,int y)      //把x節點更新為y
int mid = (l+r) / 2;        //找到中間位置
if (x <= mid)
update(o*2,l,mid,x,y);      //找左子樹 
else
update(o*2+1,mid+1,r,x,y);      //找右子樹 
pushup(o);      //更新當前節點 
}

三，查詢某個區間的總和：（查詢x到y的和）

int querysum(int o,int l,int r,int x,int y)     //查詢x到y的和 
int mid = (l + r) / 2;
if (mid >= y)       //全在左邊 
return querysum(o*2,l,mid,x,y);
else
if (x > mid)       //全在右邊 
return querysum(o*2+1,mid+1,r,x,y);
else
//一半在左一半在右 
return querysum(o*2,l,mid,x,mid) + querysum(o*2+1,mid+1,r,mid+1,y);
}

四：查詢某個區間的最大值和最小值（查詢x到y的最大值）

兩種寫法：

1.分別查詢

int querymax(int o,int l,int r,int x,int y)//查詢x到y的最大值 
int mid = (l + r) / 2;
if (mid >= y)       //全在左邊 
return querymax(o*2,l,mid,x,y);
else
if (x > mid)       //全在右邊 
return querymax(o*2+1,mid+1,r,x,y);
else
//一半在左一半在右 
return
max(querymax(o*2,l,mid,x,mid) , querymax(o*2+1,mid+1,r,mid+1,y));
}int querymin(int o,int l,int r,int x,int y)
int mid = (l + r) / 2;
if (mid >= y)       //全在左邊 
return querymin(o*2,l,mid,x,y);
else
if (x > mid)       //全在右邊 
return querymin(o*2+1,mid+1,r,x,y);
else
//一半在左一半在右 
return
min(querymin(o*2,l,mid,x,mid) , querymin(o*2+1,mid+1,r,mid+1,y));
}

2.同時查詢：

需要在main（）函式外定義全域性變數。

int maxx=-1;
int minn=100000010;
void query(int o,int l,int r,int u,int v)
else}}

函式執行之後minn 和maxx即為區間內的最小值和最大值。

main()函式依據題目來寫。

線段樹總結

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