\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
設(s; ◦) 和(t; ∗
*∗) 是兩個半群。如果存在乙個從s 到t 的雙射φ，使得∀a,
b∈
s\forall a,b \in s
∀a,b∈s
有φ(a ◦ b) = φ(a) ∗
*∗ φ(b)則稱半群(s; ◦) 與(t; ∗
*∗ ) 同構。記為(s; ◦)≅
\cong
≅(t; ∗
*∗)，簡記為s ≅
\cong
≅t。φ 稱為從s 到t 的乙個同構（對映）。
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
設(m; ◦; e) 和(m′; ∗
*∗; e′) 是兩個么半群。如果存在乙個從m 到m′ 的雙射φ，使得∀a,
b∈
m\forall a,b \in m
∀a,b∈m
有φ(e) = e′; φ(x ◦ y) = φ(x) ∗
*∗ φ(y)則稱么半群(m; ◦; e) 和(m′; ∗
*∗; e′) 同構。記為(m; ◦; e)≅
\cong
≅(m′; ∗
*∗; e′)，簡記為m ≅
\cong
≅m′。φ 稱為從m 到m′ 的乙個同構（對映）。
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
設(s; ◦) 和(t; ∗
*∗) 是兩個半群。如果存在乙個從s 到t 的對映φ，使得∀a,
b∈
s\forall a,b \in s
∀a,b∈s
有φ(a ◦ b) = φ(a) ∗
*∗ φ(b)則稱半群(s; ◦) 與(t; ∗
*∗ ) 是同態的。φ 稱為從s 到t 的乙個同態。φ(s)稱為同態象。若(m; ◦; e) 和(m′; ∗
*∗; e′) 是兩個么半群。
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
如果存在乙個從m 到m′ 的對映φ，使得∀a,
b∈
m\forall a,b \in m
∀a,b∈m
有φ(e) = e′; φ(x ◦ y) = φ(x) ∗
*∗ φ(y)則稱么半群(m; ◦; e) 與(m′; ∗
*∗ ; e′) 同態。φ 稱為從m 到m′ 的乙個同態。
設φ 是么半群(m; ◦; e) 到(m′;∗
*∗ ; e′) 的同態，則:
1.同態象φ(m) 是m′ 的乙個子么半群。
2.由φ 確定的等價關係是同餘關係，(m/eφ; ⋅
\cdot
⋅; [e]) 是么半群。
3.存在唯一的m/eφ 到m′ 的單同態φ
ˉ\bar
φˉ 使得φˉ∘
γ=
φ\bar\circ \gamma=\varphi
φˉ∘γ=
φ。其中γ
\gamma
γ是由φ生成的自然同態。
4.如果φ是乙個滿同態，則φ
ˉ\bar
φˉ是乙個雙射，m/eφ 與m′ 同構。。
抽象代數基本概念（三） 子半群 子么半群與理想
設 s 是乙個半群，b 是s 的乙個非空子集。如果對於 a,b b forall a,b in b a,b b 都有a b in b，則稱代數系 b 是 s 的乙個子半群。簡稱b 是s 的乙個子半群。b 的乘法與 s 的乘法是一樣的，否則，即使b 是s 的子集，b 也不是 s 的乙個子半群。設 s ...
抽象代數筆記 群 子群 商群
參考資料 近世代數基礎 丘維聲 抽象代數 代數系統 所謂代數系統理解為乙個集合以及定義在集合之上的乙個二元元算 同態對映 乙個a aa到a bar a 的對映 phi 其中o oo和o bar o 分別是定義在其上的運算，若存在 只要a a b b a to bar,quad b to bar a ...
抽象代數 類方程和有限群
隨著前面我們對於群的結構的探索，在對群進行公理化描述之後，我們又 了群的結構，正規 子群，商群還有直積的概念。如果我們要在進一步，就需要專注於群最為本質的特點，即對稱與變換，這是群的精髓所在，下面就讓我們開始從類方程與群對於集合的作用開始吧。設 x 是任意乙個非空集合，我們已經知道，集合 x 的全體...