3種解法兩水壺拼水問題

有兩個容量分別為 x公升和 y公升的水壺以及無限多的水。請判斷能否通過使用這兩個水壺，從而可以得到恰好 z公升的水？

如果可以，最後請用以上水壺中的一或兩個來盛放取得的 z公升水。

你允許：

示例 1: (from the famous 「die hard」 example)

輸入: x = 3, y = 5, z = 4

輸出: true

示例 2:

輸入: x = 2, y = 6, z = 5

輸出: false

思路：目標容量是通過當前兩個瓶子相互減，通過遞迴相減遍歷出所有可能組合的，沒去探尋規律，因此稱為暴力法，不過其搜尋的方式也可以稱為深度優先搜尋。如果遞迴找到返回true，如果遍歷所有可能後沒找到，則返回false

如果目標大於兩個瓶子容量和或目標為0，特殊處理

如果目標大於兩個瓶子容量，則減去大容量作為新目標容量，即原目標容量是新目標容量加上大容量

遞迴裡面不斷通過x和y對當前差值進行處理

遞迴的寫法，在測試用例數值比較大的時候會超出遞迴深度，因此最前面兩行是修改了python預設的遞迴深度。（如果不修改深度，超出深度的測試用例為：104597，104623，123）。

# author: [email protected]
import sys 
sys.setrecursionlimit(
1000000
)class
solution
:def
dein
(self,s,x,y,z,t)
:if z == t:
# 找到
return
true
if s.__contains__(t)
:# 已經出現過，則不再遞迴
return
false
s.add(t)
return self.dein(s,x,y,z,
abs(x-t)
)or self.dein(s,x,y,z,
abs(y-t)
)def
canmeasurewater
(self, x:
int, y:
int, z:
int)
->
bool
:if z > x + y:
return
false
if z in(0
,x,y)
:#簡單特例
return
true
if z >
max(x,y)
:            z = z -
max(x,y)
s =set(
)return self.dein(s,x,y,z,
max(x,y)
-min
(x,y)
)

思路：由於每次倒水操作都是全部倒掉或者倒滿，都可以看做是對x，y的整數次組合操作，即使用乙個二元一次方程進行求解判斷，將題目抽象為數學問題，可以理解為：

已知x，y，z三個正整數

判斷是否存在兩個整數a，b，使得線性方程可以滿足：ax+

by=z

ax + by = z

ax+by=

z，即在以ab為變數構成的二維座標系中，直線方程是否經過整數座標

a，b的約束條件為：不能同時大於等於1（同時等於1除外），即要檢查的座標點不考慮第一象限中（1,b)（a,1)的那一部分

在數論中有個貝祖定理，是這麼說的：

若x，y是整數，且x和y的最大公約數為k，一定存在整數a和b，使得ax+

by=k

ax+by=k

ax+by=

k成立進一步，等式ax+

by=z

ax+by=z

ax+by=

z有解的充要條件是：z是k的整數倍

另外，等式有解時必然有無窮多個整數解

從貝祖定理知道，本題目可以轉換為判斷，z是否能夠整除x和y的最大公約數。

ab的約束條件首先剔除（思路中的第3點）

輾轉相除得到最大公約數

判斷是否能整除最大公約數

class
solution
:# author: [email protected]
defcanmeasurewater
(self, x:
int, y:
int, z:
int)
->
bool
:if z > x + y:
#剔除約束條件
return
false
if z in(0
,x,y)
:#簡單特例
return
true
x, y =
max(x,y)
,min
(x,y)
while y >0:
#輾轉相除 得到 最大公約數
y, x = x % y, y        
return z % x ==
0

思路：每次把每種可能的操作都執行一遍，如果滿足條件則返回true，否則每次把操作結果存入棧，每次取棧頂元素後持續查詢，直到將每次操作的可能性都遍歷完，本演算法使用棧來達到深度優先搜尋演算法，也可以使用佇列來達到廣度優先搜尋演算法。

每次操作最多有以下6種操作方式：

把x倒滿

把y倒滿

把x倒空

把y倒空

把x倒入y，可能把x倒空，也可能把y倒滿

把y倒入x，可能把y倒空，也可能把x倒滿

為了減少重複遍歷，引入visited集合進行過濾來判斷，這種方式跟解法一類似，也可以理解成暴力法，即基於具體規則的暴力破解。本解法使用迴圈來代替遞迴，用於避免超出python的預設最大遞迴深度，當然也可以類似解法一使用遞迴的方式實現。

class
solution
:# author: [email protected]
defcanmeasurewater
(self, x:
int, y:
int, z:
int)
->
bool
:        stack =[(
0,0)
]        visited =
set(
)while stack:
cx,cy = stack.pop(
)if z in
(cx,cy,cx+cy)
:return
true
if(cx,cy)
in visited:
continue
visited.add(
(cx,cy)
)#加入標籤減少重複遍歷
(x,cy)
)#1. 把x倒滿
(cx,y)
)#2. 把y倒滿(0
,cy)
)#3. 把x倒空
(cx,0)
)#4. 把y倒空
(cx-
min(cx,y-cy)
,cy+
min(y-cy,cx)))
#5. 把x倒入y，可能把x倒空，也可能把y倒滿
(cx+
min(x-cx,cy)
,cy-
min(cy,x-cx)))
#6. 把y倒入x，可能把y倒空，也可能把x倒滿
return
false

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八皇后問題的兩種解法

6 2分魚問題兩種解法

約瑟夫環問題的兩種解法（詳解）

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