馬拉車演算法的一些個人理解

在一串字串裡找出最長字串的問題，可以通過暴力求解法來解決，其時間複雜度為o(n^2)，這當然不會很快。演算法的設計，就是為了讓計算機能夠更加高效地處理問題。我們希望可以降低時間複雜度，在1975一位名叫manacher的人提出了這種演算法，雖然犧牲了空間複雜度，讓時間複雜度降為o(n)

馬拉車演算法首先對我們輸入的預設字串進行一次預處理，即給所有字元的左右兩邊新增上乙個相同的符號，比如「#」。假設原始字串為"aabca"，那麼預處理過後就變成了「#a#a#b#c#a#」。為什麼要這樣做？我們在尋找最長字串時，要做的事情就是以某乙個值或者兩個值為中心，向兩邊擴充套件，去對比左右兩邊的值是否匹配。這裡就會有乙個問題，取決於回文串本身是奇數還是偶數，相應的中心可能是乙個值或者兩個值。通過新增額外字元，讓所有回文串都變為奇數，這就簡化了尋找基準。不過這也相應的讓空間複雜度由o(1)變味了o(n)。

原字元（奇）：aba

新增額外字元後（奇）：#a#b#a#

原字元（偶）：bb

新增額外字元後（奇）：#b#b#

不過只是新增了「#」還不夠，為了能夠準確地區分出字串的頭部和尾部，避免搜尋時出現下標溢位的情況，需要在字串頭部和尾部分別新增乙個與「#」和原始字元不同的字元，保證這倆字元永遠也不會和其他字元組合成回文串。這裡我們給頭部新增乙個符號「^」，給尾部新增乙個符號「%」。這樣，完整的處理效果如下：

處理後字串：^#a#b#a#%

已經對原始字串做完預處理，現在可以開始找最長字串了。這裡引入幾個概念：

c——中心值的下標，要求以其為下標時，r必須最大

p[i]——（除開首尾字元）以各個字元為中心時，相應的最長半徑

r——以c為中心時，其右端最遠處的下標值。計算方式為 p[c]+c

start——最長字串（在原始字串中）起始索引。計算方式為 (c-p[c])/2

想要找到最長字串，其實就是去找到擁有最大半徑的那個中心點。另外，通過比較所有p[i]的值，可以得到擁有最長半徑的maxlen及最長半徑p[maxlen]和起始索引start，那麼就可以準確定位最長字串的位置了。

接下來就開始遍歷搜尋吧，不過別急，這裡我們可以借助回文的特性，通過一些額外的技巧讓搜尋更具效率。

這個技巧的核心理念是：如果已經發現了長回文，那麼包含在長回文中的左邊的短回文在右邊肯定也是短回文。

這裡其實利用了對稱的想法，假若我們此刻的中心點為c，迭代的指標為i，那麼右邊的i相對於中心點c在左邊應該可以找到乙個相對的點i_mirror：

i_mirror——與i相對於c對稱。計算方式為 2*c-i

考慮i與r的關係：

ii==r

無需考慮i_mirror，直接令p[i]=0開始進行擴充套件。

（無需考慮i>r，因為一旦出現更大的r，c就需要更新。這就保證i所指向的值，至少等於r）

在確定p[i]的值後，以此為基礎確認左右兩端的下標值進行擴充套件搜尋，可以有效節約搜尋時間。

#include
#include
#include
using
namespace std;
string preprocess
(string s)
string ret =
"^";
for(
int i =
0; i < n; i++
)    ret +
="#%"
;return ret;
}string longestpair
(string s)
else
// 確定了p[i]的值後，開始進行中心擴充套件
while
(s[i+
1+p[i]
]== s[i-
1-p[i]])
// 判斷是否需要更新 r
if(i + p[i]
> r)
}// 找出 p 的最大值並計算相應的初始索引
int centerindex =1;
for(
int i =
2; i < n -
1; i++)}
int start =
(centerindex - p[centerindex])/
2;//起始索引值
return s.
substr
(start, p[centerindex]);
}

參考:

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遞迴演算法一些個人理解

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