二分查詢三種場景

也稱折半查詢(binary search)

使用前提：線性表採用順序儲存結構，表中元素按關鍵字有序排列

二分查詢是一種基於比較目標值和陣列中間元素的教科書式演算法。

實現：維護兩個指標left，right，指標之間是搜尋區間

時間複雜度：o(logn)

空間複雜度：o(1)

public int search(int nums, int target) else if(nums[mid] < target)else if(nums[mid] > target)
}	return -1;
}

分析搜尋區間while 迴圈的條件中是 <=

因為初始化right的賦值是nums.length - 1，不是nums.length。

前者相當於兩端都閉區間 [left, right]，後者相當於左閉右開區間 [left, right)，因為索引大小為 nums.length 是越界的。

我們這個演算法中使用的是前者 [left, right] 兩端都閉的區間。這個區間其實就是每次進行搜尋的區間。

什麼時候應該停止搜尋呢？找到了目標值的時候可以終止：

if(nums[mid] == target)
return mid;

但如果沒找到，就需要 while 迴圈終止，然後返回 -1。

那 while 迴圈什麼時候應該終止？

搜尋區間為空的時候應該終止，意味著你沒得找了，就等於沒找到嘛。

while(left <= right) 的終止條件是 left == right + 1，寫成區間的形式就是 [right + 1, right]，或者帶個具體的數字進去 [3, 2]，可見這時候區間為空，因為沒有數字既大於等於 3 又小於等於 2 的吧。所以這時候 while 迴圈終止是正確的，直接返回 -1 即可。

while(left < right) 的終止條件是 left == right，寫成區間的形式就是 [left, right]，或者帶個具體的數字進去 [2, 2]，這時候區間非空，還有乙個數 2，但此時 while 迴圈終止了。也就是說這區間 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 沒有被搜尋，如果這時候直接返回 -1 就是錯誤的。

如果你非要用 while(left < right) 也可以，我們已經知道了出錯的原因，就打個補丁，處理nums[left] == target的情況：

//...
while(left < right) 
return nums[left] == target ? left : -1;

left = mid + 1，right = mid - 1

本演算法的搜尋區間是兩端都閉的，即 [left, right]。

那麼當我們發現索引 mid 不是要找的 target 時，下一步應該去搜尋[left, mid-1] 或者 [mid+1, right] …因為 mid 已經搜尋過，應該從搜尋區間中去除。

對於有序陣列 nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，想得到 target 的左側邊界，即索引 1，也即表示了

int left_bound(int nums, int target)  else if (nums[mid] < target)  else if (nums[mid] > target) 
}return left;
}

小於target的元素個數，此時陣列有重複數時也可以

分析搜尋區間

1、為什麼 while 中是 < 而不是 <=?

用相同的方法分析，因為 right = nums.length 而不是 nums.length - 1。因此每次迴圈的「搜尋區間」是[ left, right ) 左閉右開。

while(left < right) 終止的條件是 left == right，此時搜尋區間 [left, left) 為空，所以可以正確終止。

對於搜尋左右側邊界的二分查詢，寫法普遍是while (left < right)

2、為什麼沒有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 這個值，怎麼辦？

【左側邊界】

對於[1,2,2,2,3]，演算法會返回 1。這個 1 的含義可以這樣解讀：nums 中小於 2 的元素有 1 個。

對於 nums = [2,3,5,7]，target = 1（比nums都小），演算法會返回 0，含義是：nums 中小於 1 的元素有 0 個。

對於nums = [2,3,5,7]，target = 8（比nums都大），演算法會返回 4，含義是：nums 中小於 8 的元素有 4 個。

函式的返回值（即 left 變數的值）取值區間是閉區間 [0, nums.length]，所以我們簡單新增兩行**就能在正確的時候 return -1：

while (left < right) 
// target 比所有數都大
if (left == nums.length) return -1;
// 類似之前演算法的處理方式（處理nums[left] == target的情況）
return nums[left] == target ? left : -1;

3、為什麼 left = mid + 1，right = mid ？和之前的演算法不一樣？

答：因為我們的「搜尋區間」是 [left, right) 左閉右開，所以當 nums[mid] 被檢測之後，下一步的搜尋區間應該去掉 mid 分割成兩個區間，即[left, mid) 或 [mid + 1, right)。

4、為什麼該演算法能夠搜尋左側邊界？

關鍵在於對於 nums[mid] == target 這種情況的處理：

if (nums[mid] == target)
right = mid;

5、為什麼返回 left 而不是 right？

都是一樣的，因為 while 終止的條件是 left == right。

int right_bound(int nums, int target)  else if (nums[mid] < target)  else if (nums[mid] > target) 
}return left - 1; // 注意
}

1、為什麼這個演算法能夠找到右側邊界？

關鍵點還是這裡：

當 nums[mid] == target 時，不要立即返回，而是增大「搜尋區間」的下界 left，使得區間不斷向右收縮，達到鎖定右側邊界的目的。

if (nums[mid] == target) 
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;

int mid = 0;
while()

class
solution
(object)
:    def search
(self, nums, target)
:"""
:type nums: list[
int]
:type target:
int:rtype:
int"""
if nums == none:
return-1
n =len(nums)
left =
0        right = n -
1        mid =
0while left <= right:
mid = left +
(right - left)/2
if nums[mid]
== target:
return mid
elif nums[mid]
< target:
left = mid +
1            elif nums[mid]
> target:
right = mid -
1return
-1

參考鏈

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二分查詢的三種實現

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