旋轉矩陣用九個量描述三自由度的旋轉，具有冗餘性；尤拉角和旋轉向量是緊湊的，但具有奇異性。事實上，我們找不到不帶奇異性的三維向量描述方式 [19]。這有點類似於，當我們想用兩個座標表示地球表面時（如經度和緯度），必定存在奇異性（緯度為 ±90 ◦ 時經度無意義）。三維旋轉是乙個三維流形，想要無奇異性地表達它，用三個量是不夠的。
在表達三維空間旋轉時，也有一種類似於複數的代數：四元數（quaternion）。四元數是 hamilton 找到的一種擴充套件的複數. 它既是緊湊的，也沒有奇異性。
乙個四元數 q 擁有乙個實部和三個虛部。
其中 i,j,k 為四元數的三個虛部。這三個虛部滿足關係式：
由於它的這種特殊表示形式，有時人們也用乙個標量和乙個向量來表達四元數：
這和複數非常相似。考慮到三維空間需要三個軸，四元數也有三個虛部，那麼，乙個虛四元數能不能對應到乙個空間點呢？事實上我們就是這樣做的。同理，我們知道乙個模長為 1 的複數，可以表示復平面上的純旋轉（沒有長度的縮放），那麼，三維空間中的旋轉是否能用單位四元數表達呢？答案也是肯定的。
我們知道單位四元數能夠表達三維空間的旋轉。這種表達方式和旋轉矩陣、旋轉向量有什麼關係呢？我們不妨先來看旋轉向量。假設某個旋轉是繞單位向量
反之，我們亦可從單位四元數中計算出對應旋轉軸與夾角：
在四元數中，任意的旋轉都可以由兩個互為相反數的四元數表示。同理，取 θ 為 0，則得到乙個沒有任何旋轉的實四元數：
運算
四元數和通常複數一樣，可以進行一系列的運算。常見的有四則運算、數乘、求逆、共軛等等。
兩個四元數為：
1. 加法和減法
四元數
2.乘法
3.共軛
四元數的共軛是把虛部取成相反數：
4.模5.逆乙個四元數的逆為：
四元數和自己的逆的乘積為實四元數的 1：
6.數乘與點乘
用四元數表示旋轉
我們可以用四元數表達對乙個點的旋轉。假設乙個空間三維點
如果用四元數描述旋轉，把三維空間點用乙個虛四元數來描述:
這相當於我們把四元數的三個虛部與空間中的三個軸相對應。然後用四元數 q 表示這個旋**
旋轉後的點 p ′ 即可表示為這樣的乘積：
四元數與矩陣的轉換
現在看來，把四元數轉換為矩陣的最直觀方法，是先把四元數 q 轉換為軸角 θ 和 n，然後再根據羅德里格斯公式轉換為矩陣。
不過那樣要計算乙個 arccos 函式，代價較大。實際上這個計算是可以通過一定的技巧繞過的。我們省略過程中的推導，直接給出四元數到旋轉矩陣的轉換方式。
設四元數
反之，由旋轉矩陣到四元數的轉換如下。假設矩陣為
值得一提的是，由於 q 和 −q 表示同乙個旋轉，事實上乙個 r 對應的四元數表示並不是惟一的。同時，除了上面給出的轉換方式之外，還存在其他幾種計算方法。實際程式設計中，當 q0 接近 0 時，其餘三個分量會非常大，導致解不穩定，此時我們再考慮使用其他的方式進行轉換。
最後，無論是四元數、旋轉矩陣還是軸角，它們都可以用來描述同乙個旋轉。我們應該在實際中選擇對我們最為方便的形式，而不必拘泥於某種特定的樣子。
第七部分 特殊用途系統
實時系統 不僅要求計算結果正確，而且要求必須在乙個特定的截止時間期限內產生。系統特性 片上系統 soc,system on a chip 指的是在單個晶元上整合乙個完整的系統，對所有或部分必要的電子電路進行包分組的技術。所謂完整的系統一般包括 處理器 cpu 儲存器 以及外圍電路等。實時核心特性 實...
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7結果 對於在第五部分中描述的行為選擇的每乙個方法，執行進化的步驟。異種交配的生物群體經常收斂到一致性，但每乙個單獨執行的進化能產生 完全不同的運動策略，這種策略滿足要求的行為。為了這個原因，許多單獨的 進化被執行，每個執行50到100代，每個進化的最成功的生物被檢驗。這些中的一些被顯示在圖6 9中...
20151205正則第七部分（awk複習）
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