多項式展開的項數計算。假設
f (x
)=(x
1+n2
+...
+xn)
kf(x) = (x_1+n_2+...+x_n)^k
f(x)=(
x1+
n2+
...+
xn)
k求不同的項數目，例如 x1k
x_1^k
x1k
，x 2k
x_2^k
x2k
和x 11
x2k−
1x_1^1x_2^
x11x2
k−1
是不同的項。
用排列組合的知識，一共有兩個步驟。
選定變數
x ik
x_i^k
xik
次冪的項數可以看作是從[x1
,x2,
...,
xn
][x_1, x_2, ...,x_n]
[x1,x
2,.
..,x
n]中選擇一變數，一共n
nn個選擇。xia
xjk−
ax_i^ax_j^
xiaxj
k−a
是選擇兩項，n∗(
n−1)
2\frac
2n∗(n−
1), 依次類推每m個變數組成的單項式可以有cnm
c_n^m
cnm
種選擇。
分配每個變數的冪
在選定變數之後，就需要指定次冪。假設我們已經選定m
mm個變數，m
mm個變數冪的和為k
kk。用插擋板的辦法得到，在k
kk個小球中插入m−1
m-1m−
1個擋板將其劃分為m
mm個區間，每個區間的值就是對應變數的次冪，也就是k−1
k-1k−
1個位置中選擇m−1
m-1m−
1個位置，共有ck−
1m−1
c_^ck
−1m−
1種劃分辦法。
合起來，f(x
)=(x
1+n2
+...
+xn)
kf(x) = (x_1+n_2+...+x_n)^k
f(x)=(
x1+
n2+
...+
xn)
k項數公式表示為
∑ i=
1kcn
ick−
1i−1
\sum_^ c_n^ic_^
i=1∑k
cni
ck−1
i−1
python實現
from functools import
reduce
from operator import mul
defcombination
(n, k)
:if k ==
0or k == n:
return
1 dividend =
reduce
(mul,
(i for i in
range
(n-k+
1, n+1)
))divisor =
reduce
(mul,
(i for i in
range(1
, k+1)
))return dividend/divisor
defnums_of_polynomial
(n, k)
:# n是變數數, k是次冪
total =
0for i in
range(1
, k+1)
: total += combination(n, i)
*combination(k-
1, i-1)
return
int(total)
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