在之前介紹線性代數行列式計算公式的時候，我們曾經介紹過逆序數：我們在列舉出行列式的每一項之後，需要通過逆序數來確定這一項符號的正負性。如果有忘記的同學可以回到之前的文章當中複習一下：
線性代數行列式
如果忘記呢，問題也不大，這個概念比較簡單，我想大家很快就能都搞清楚。
面試題當**現。
我們先來回顧一下逆序數的定義，所謂逆序數指的是陣列當中究竟存在多少組數對，使得排在前面的數大於排在後面的數。我們舉個例子，假設當下有乙個陣列是: [1, 3, 2]。
對於數對(3, 2)來說，由於3排在2前面，並且3 > 2，那麼就說明(3, 2)是一對逆序數對。整個陣列當中所有逆序數對的個數就是逆序數。
我們從逆序數的定義當中不難發現，逆序數其實是用來衡量乙個陣列有序程度的乙個指標。逆序數越大，說明這個陣列遞增性越差。如果逆序數為0，說明這個序列是嚴格遞增的。如果乙個長度為n的陣列的逆序數是\(c_n^2\)，那麼說明這個陣列是嚴格遞減的，此時逆序數最大。
那麼，我們怎麼快速地求解逆序數呢？
顯然，這個問題可以暴力求解，我們只需要遍歷所有的數對，然後判斷是否構成逆序即可，最後累加一下所有逆序數對的個數就是最終的答案。
這個**非常簡單，只需要幾行：
inverse = 0
for i in range(1, 10):
for j in range(0, i):
if arr[j] > arr[i]:
inverse += 1
我們可以嘗試使用分治演算法來解決這個問題。
對於乙個陣列arr來說，我們試著將它拆分成兩半，比如當下arr是[32, 36, 3, 9, 29, 16, 35, 73, 34, 82]。我們拆分成兩半之後分別是[32, 36, 3, 9, 29]和[16, 35, 73, 34, 82]。我們令左邊半邊的子陣列是a，右邊半邊的子陣列是b。顯然a和b都是原問題的子問題，我們可以假設通過遞迴可以求解出a和b子問題的結果。
那麼問題來了，我們怎麼通過a、b子問題的結果來構建arr的結果呢？也就是說，我們怎麼通過子問題分治來獲取原問題的答案呢？
在回答之前，我們先來分析一下當前的情況。當我們將arr陣列拆分成了ab兩個部分之後，整個arr的逆序數就變成了三個部分。分別是a陣列之間的逆序數、b陣列之間的逆序數，以及ab兩個陣列之間的逆序數，也就是乙個元素在a中，乙個元素在b中的逆序數對。我們再來分析一下，會發現a陣列中的元素交換位置，只會影響a陣列之間的逆序數，並不會影響b以及ab之間構成的逆序數。因為a中的元素即使交換位置，也在b陣列所有元素之前。
我們舉個例子：
假設arr=[3, 5, 1, 4]，那麼a=[3, 5], b=[1, 4]。對於arr而言，它的逆序數是3分別是(3， 1)， （5， 1）和（5， 4）。對於a而言，它的逆序數是0，b的逆序數也是0。我們試著交換一下b當中的位置，交換之後的b=（4， 1），此時arr=[3, 5, 4, 1]。那麼b的逆序數變成1，a的逆序數依然還是0。而整體arr的逆序數變成了4，分別是：（3， 1），（5， 1），（5， 4）和（4，1），很明顯整體的逆序數新增的就是b交換元素帶來的。通過觀察，我們也能發現，對於a中的3和5而言，b中的1和4的順序並不影響它們構成逆序數的數量。
想明白了這一層，剩下的就簡單了。既然a和b當中的元素無論怎麼交換順序也不會影響對方的結果，那麼我們就可以放心地使用分治演算法來解決了。我們先假設，我們可以通過遞迴獲取a和b各自的逆序數。那麼剩下的問題就是找出所有a和b個佔乙個元素的逆序數對的情況了。
我們先對a和b中的元素進行排序，我們之前已經驗證過了，我們調整a或者b當中的元素順序，並不會改變橫跨ab逆序數的數量，而我們通過遞迴已經求到了a和b中各自逆序數對的數量，所以我們存下來之後，就可以對a和b中的元素進行排序了。a和b中元素有序了之後，我們可以用插入排序的方法，將a中的元素依次插入b當中。
b: ********* j ************
/ai
比較容易想到，由於b元素有序，我們可以通過二分的方法來查詢a當中元素的位置。但其實還有更好的辦法，我們乙個步驟就可以完成ab的排序以及插入，就是將ab兩個有序的陣列進行歸併。在歸併的過程當中，我們既可以知道插入的b陣列中的位置，又可以完成陣列的排序，也就順帶解決了a和b排序的問題。所以整個步驟其實就是歸併排序的延伸，雖然整個**和歸併排序差別非常小，但是，這個過程當中的推導和思考非常重要。
如果你能理解上面這些推導過程，我相信**對你來說並不困難。如果你還沒能完全理解，也沒有關係，藉著**，我相信你會理解得更輕鬆。話不多說了，讓我們來看**吧：
def inverse_num(array):
n = len(array)
if n <= 1:
return 0, array
mid = n // 2
# 將陣列拆分為二往下遞迴
inverse_l, arr_l = inverse_num(array[:mid])
inverse_r, arr_r = inverse_num(array[mid:])
nl, nr = len(arr_l), len(arr_r)
# 插入最大的int作為標兵，可以簡化判斷超界的**
i, j = 0, 0
new_arr =
# 儲存array對應的逆序數
inverse = inverse_l + inverse_r
while i < nl or j < nr:
if arr_l[i] <= arr_r[j]:
# 插入a[i]的時候逆序數增加j
inverse += j
i += 1
else:
j += 1
return inverse, new_arr
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