給你5個數 :n,x,y,a,b(1<=n,x,y,z,b<=1e12)f(1)=x,f(2)=y,f(i)=f(i-1)*f(i-2)*a^b(i>3)
讓你求f(n)%1e9+7的值
f(1)=x;f(2)=y;
f(3)=x*y*a^b;
f(4)=x*y*a^b*y*a^b=x*y^2*a^2b
f(5)=x*y^2*a^2b*x*y*a^b*a^b=x^2*y^3*a^4b
f(6)=x^2*y^3*a^4b*x*y^2*a^2b=x^3*y^5*a^6b
設c為常數
c x y
1 0 1 0
2 0 0 1
3 1 1 1
4 2 1 2
5 4 2 3
6 6 3 5
c:i<3:fb2(1)=fb2(2)=0;
i>=3:fb2(i)=fb2(i-1)+fb2(i-1)+1;
//注意不能化成fb2(i)=fb2(i-1)*fb2(i-2)*a^b;
//因為這樣不能用常量矩陣來維護，因為矩陣乘法的每一項的結果是相加的。
ans1=a^(b*fb2(i))，相當於只維護冪次和
1 1 1 fb2(i-1) fb2(i)
1 0 0 * fb2(i-2) = fb2(i-1)
0 0 1 1 1
設t為3*3的矩陣,,};
設ai為3*1的矩陣
則a1=
ai=a(i-1)*t
a2=a1*t
a3=a2*t=a1*t^2
=>ai=a1*t^(i-1)
=>
fb2(2) fb2(i)
t^(i-1) * fb2(1) = fb2(i-1)
1 1
如果要求fb2(n)
利用矩陣快速冪求出t^(n-1)
fb2(n)=t^(n-1)的第一行*a1的第一列(即矩陣)
則c對答案的貢獻為 ans1=a^(b*fb2(n))（可以用快速冪求）
x:i<3:fb1(1)=1, fb1(2)=0;
i>=3:fb1(i)=fb1(i-1)+fb1(i-2);
1 1 fb1(i-1) fb1(i)
1 0 * fb1(i-2) = fb1(i-1)
設t為2*2的矩陣,}
設ai為2*1的矩陣
則a1為2*1的矩陣
ai=a(i-1)*t;
a2=a1*t
a3=a2*t=a1*t*t=a1*t^2
a4=a3*t=a1*t*t*t=a*t^3;
根據遞推式可得
ai=a1*t^(i-1);
即
t^(i-1) fb1(2) fb1(i)
* fb1(1) = fb1(i-1).
故fb1(n)=t^(n-1)的第一行*a1(即矩陣)
因此對答案的貢獻是 ans2=x^fb1(n);
y:i<3:fb1(1)=0,fb1(2)=1;
i>=3:fb1(i)=fb1(i-1)+fb1(i-2);
推導過程和上面類似，只不過初始值變了
可以自己再推一遍。
最後答案就是ans1*ans2%mod*ans3%mod
trick:
1.因為x和y的遞推都是斐波那契數列，只不過初始值變了，而且x比y多了一位，所以我們可以放在一起考慮。
2.a^b對上面的指數取模時不能直接取，需要用到費馬小定理
定理內容:如果p是乙個質數，而整數a不是p的倍數，則有a^（p-1）≡1（mod p）
3.根據上面的定理所以我們需要特判a是p的倍數的情況以及x,y是p的倍數的情況。
#pragma gcc optimize(2)#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#define pi atan(1.0)*4
#define e 2.718281828
#define rp(i,s,t) for (register int i = (s); i <= (t); i++)
#define rp(i,t,s) for (register int i = (t); i >= (s); i--)
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define pii pair#define mp make_pair
#define pb push_back
using namespace std;
inline int read()
while(c>='0'&&c<='9')
return a*b;
}ll n,x,y,a,b;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll mod = 1e9+7;
struct matrix;
matrix mul(matrix a,matrix b, ll m)
}return res;
}matrix matrix_pow(matrix a,ll b,ll m)
return res;
}ll fb1(int flag,ll n,ll m)
ll fb2(ll n,ll m)
ll quick_pow(ll a,ll b,ll m)
return res%m;
}int main()
}return 0;
}
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