乙個有\(n\)個元素的集合，將其分為任意個非空子集，求方案數。集合之間是無序的，\(\,\\}=\,\\}\)。
設\(f_n\)表示用\(n\)個元素組成的集合的個數，顯然\(f_n=1\)。設\(f(x)\)為\(f\)的指數型生成函式，那麼\(f(x)=\sum_\frac\)，\(f^i(x)\)的第\(n\)位就是\(i\)個元素個數之和為\(n\)的集合組合在一起的方案數。
設\(g_i\)為\(n=i\)時的答案，再設\(g(x)\)為\(g\)的指數型生成函式。列舉劃分的集合個數：
\[ g(x)=\sum_\frac \]
顯然\(f(x)=e^x-1\)，那麼\(g(x)=e^\)，\(g(x)\)第\(i\)項乘\(i!\)就是\(g_i\)。多項式\(exp\)即可。
#include#define rg register
#define il inline
#define cn const
#define gc getchar()
#define fp(i,a,b) for(rg int i=(a),ed=(b);i<=ed;++i)
#define fb(i,a,b) for(rg int i=(a),ed=(b);i>=ed;--i)
using namespace std;
typedef cn int cint;
il int rd()
il int finv(cint &n)
cint g=3,invg=finv(g);
il void ntt(int *a,cint &f)
il void get_ln(int *a,int *b,int n)
void get_exp(int *a,int *f,int n)
get_exp(a,f,n>>1),get_ln(f,g,n);
g[0]=(1-g[0]+a[0]+mod)%mod; fp(i,1,n)g[i]=(a[i]-g[i]+mod)%mod;
lim=1,l=0; while(lim<=n<<1)lim<<=1,++l; rev=finv(lim);
fp(i,0,lim-1)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
ntt(f,1),ntt(g,1);
fp(i,0,lim)f[i]=1ll*f[i]*g[i]%mod; ntt(f,0);
fp(i,0,n)f[i]=1ll*f[i]*rev%mod; fp(i,n+1,lim)f[i]=0;
fp(i,0,lim)g[i]=0;
}int main()
洛谷 P5748 集合劃分計數 題解
題目傳送門 題目大意 多次詢問，求貝爾數的第 n nn 項。先考慮只有乙個集合的情況，設 f if i fi 表示 i ii 個不同元素分成 1 11 個集合的方案數，顯然有 fi 1f i 1 fi 1，由於不允許有空集，所以 f0 0f 0 0 f0 0。設 f ff 的 egf egfeg f...
2 7 集合劃分問題
問題描述 n 個元素的集合可以劃分為若干個非空子集。例如，當 n 4 時，集合可以劃分為 15 個不同的非空子集如下 程式設計任務 給定正整數 n，計算出 n 個元素的集合可以劃分為多少個不同的非空子集。資料輸入 由檔案 input.txt 提供輸入資料。檔案的第 1 行是元素個數 n。結果輸出 程...
luogu P2415 集合求和
今天下午沒什麼精神，於是跑去刷水題，刷什麼水題才不會太水呢？肯定是數論題了，然後就有了這道題。給定乙個集合，求它所有子集的元素和。各位大神推導的結論是每乙個元素一定會出現2 n 1次，然後我這個蒟蒻就又採用了一種辣雞做法。我們知道乙個n個元素的集合，m個元素的子集有c n,m 個，而在這些集合的總體...