二分折半筆記

菜雞今天又開始了乙個新的演算法，廢話不多說，開始筆記。二分查詢是乙個十分常用的演算法，適用於對帶有單調性的資料進行處理或查詢。大多數題目可能沒那麼顯示，需要自己來找這個單調性在哪，所以這就是乙個重點，具體的用法和**很簡單，就那麼幾行，但是對於折半的條件卻需要有嚴格的要求。

[牛客]完全平方數

就如這個題目：多次查詢[l,r]範圍內的完全平方數個數。這樣的題目通常需要經過預處理。因為資料量看起來比較大1e9，你也沒法預處理哪個數是不是完全平方數。但是，完全平方數嘛，就必然是乙個數的平方，那我們可以存一下，每乙個數對應的完全平方數是誰。如：1->1,2->4，這樣以此類推，正好我們的下標的平方就是我們儲存的資料。而且我們也正好可以知道從1到這個數，已經有多少個完全平方數了，有點字首和的感覺，這樣，我們每遇到乙個區間就可以直接二分查詢兩個端點的位置，然後做差，就正好是這個範圍內所求性質的數的個數了。這裡要注意一下，最好是要在二分查詢的時候用左閉右開，這樣你後面那個查到的永遠是比你右端點大的位置，用這個直接減掉左端點就是其中數的個數了。

總結一下，我們的思想就是，大資料我們存不下，我們可以把某些具有該特性的數預處理先存在陣列裡面，借助陣列下表當做字首和，來相當於把乙個大的區間進行了離散化，在進行二分查詢。

#include
#include
#include
using
namespace std;
long number[
100010];
intmain()
return0;
}

**很簡單的，對吧~

01分數規劃的題目可以借助二分進行近似求解。至於什麼是01分數規劃，在這裡稍微簡單做下筆記，當然可以問度娘。

0/1分數規劃模型是指，有一些二元組（si，pi），從中選取一些二元組，使得∑si / ∑pi最大（最小）。

這種題一類通用的解法就是，我們假設x = ∑si / ∑pi的最大（小）值，那麼就有x * ∑pi = ∑si ,即∑si - x * ∑pi= 0。也就是說，當某乙個值x滿足上述式子的時候，它就是要求的值。所以我們直接二分答案，當上述式子》0,說明答案小了，<0則說明答案大了，這樣計算即可。

[牛客]wyh的物品

#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int maxn =
1e5+5;
const
double eps =
0.001
;double v[maxn]
, w[maxn]
, x[maxn]
;int
main()
double mid, sum =0;
while
(fabs
(r-l)
> eps)
printf
("%.2lf\n"
, mid);}
return0;
}

[牛客]andy的樹被砍了

這種一般就比較簡單吧，一般就是字首和，畢竟是字首和，也沒有負數，單調性很明顯，然後用二分的話可能**就會簡化一點，時間複雜度低一點。感覺可用可不用。我看好像都沒用二分就過了。

#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int maxn =
1e5+5;
long
long c[maxn]
;int h[maxn]
;int
main()
cout << endl;
return0;
}

emmm，比暴力的**更簡潔一點。

有些題目要特別巧妙的使用字首和，可以大量的減少時間複雜度：[牛客]transform，而且確定邊界的時候一定要好好想想，要不然就一直錯。

#include
#include
using
namespace std;
const
int maxn =
5e5+5;
int n;
long
long t;
int x[maxn]
;long
long a[maxn]
, _sum[maxn]
, _cost[maxn]
;inline
long
long
getrightcost
(int l,
int r)
inline
long
long
getleftcost
(int l,
int r)
bool
check
(long
long _try)
l = r = mid = n;
while
(true
)return
false;}
intmain()
r = _sum[n]
;while
(l <= r)
printf
("%lld\n"
, r)
;return0;
}

一般我們習慣性的對所求答案進行二分，比如：[牛客]接機

一般的都是乙個模板：

while
(l < r)

重點在於根據題目怎麼寫這個check函式，還有就是對於邊界的判斷，要想好，哪乙個是可行解，應該保留哪乙個邊界。

#include
#include
using
namespace std;
const
int maxn =
1e5+5;
int _time[maxn]
;inline
bool
check
(int n,
int m,
int c,
int mid)
return cnt <= m;
}int
main()
printf
("%d\n"
, r)
;return0;
}

還有一種比較不容易出錯的寫法：

while
(l <= r)

這樣把最後求得的可行解儲存在乙個變數裡面，就可以不用邊界是否正確，最後的解一定是可行的。

剛開始，沒做多少題目，日後再更~

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