lambda演算中的遞迴與Y組合子

2021-10-02 05:55:09 字數 2863 閱讀 8037

考慮在λ

\lambda

λ演算中實現乙個遞迴的階乘函式，

f ac

t(n)

=1&,n=0 \\ n\cdot fact(n-1)&,n\neq0 \end

fact(n

)=fib(n)=\begin 1&,n=1\\ 1&,n=2\\ fib(n-1)+fib(n-2)&,n\notin\\\ \end

fib(n)

=⎩⎪⎨

⎪⎧​1

1fib

(n−1

)+fi

b(n−

2)​,

n=1,

n=2,

n∈/​

​在λ\lambda

λ演算下我們設計成：

fib:=(λthis.λn.(if (= n 1) 


1(if (= n 2) 


1 (+ (this this (- n 1)) 


(this this (- n 2)))))


λthis.λn.(if (= n 1) 


1(if (= n 2) 


1 (+ (this this (- n 1)) 


(this this (- n 2))))))


例：(fib 5)值為5
我們發現，儘管上述的fib函式在語義上，邏輯上都沒有問題，但寫起來比較繁瑣，不習慣。

一方面為簡化書寫，另一方面為符合習慣，我們考慮設計乙個函式，能讓以下這種寫法，自動轉換成完整的遞迴函式：

λthis.λn.(if (= n 1) 


1(if (= n 2) 


1 (+ (this (- n 1)) 


(this (- n 2)))))
我們設輸入函式為f，輸出函式為g

f:=λthis.λn.(if (= n 1) 


1(if (= n 2) 


1 (+ (this (- n 1)) 


(this (- n 2)))))))


g:=(λthis.λn.(if (= n 1) 


1(if (= n 2) 


1 (+ (this this (- n 1)) 


(this this (- n 2)))))


λthis.λn.(if (= n 1) 


1(if (= n 2) 


1 (+ (this this (- n 1)) 


(this this (- n 2))))))
也就是說我們想要設計乙個函式，設為y，它能做到：(y f)=g

那麼y要怎麼設計呢？

觀察總結y需要做的事情：

生成**將f中的this替換成(this this)**的新函式，假設為f

返回將新函式自身傳遞給自身的函式，即返回(f f)

首先，生成**將f中的this替換成(this this)**的新函式，可以這樣實現：

a:=λf.λthis.(f (this this))

(a f)


=λthis.λn.(if (= n 1) 


1(if (= n 2) 


1 (+ (this this (- n 1)) 


(this this (- n 2)))))))
其次，返回將新函式自身傳遞給自身的函式，可以這樣實現：

b:=λf.(f f)

(b (a f))


=((a f)


(a f))


=(λthis.λn.(if (= n 1) 


1(if (= n 2) 


1 (+ (this this (- n 1)) 


(this this (- n 2)))))


λthis.λn.(if (= n 1) 


1(if (= n 2) 


1 (+ (this this (- n 1)) 


(this this (- n 2))))))


=g即(b (a f))=g
所以y就是：λf.(b (a f))

我們展開它：

λf.(b (a f))


=λf.(λf.(f f) (λf.λthis.(f (this this)) f))


=λf.(λf.(f f) λthis.(f (this this)))


=λf.(λthis.(f (this this)) λthis.(f (this this)))


=λf.(λx.(f (x x)) λx.(f (x x)))
得到y組合子：

y:=λf.(λx.(f (x x)) λx.(f (x x)))

有了它，現在我們可以這樣設計遞迴函式了：

fact:=(y λthis.λn.(if (= n 0) 1 (* n (this (- x 1)))))


fib:=(y λthis.λn.(if (= n 1) 


1(if (= n 2) 


1 (+ (this (- n 1)) 


(this (- n 2)))))

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