卡特蘭數又稱卡塔蘭數，
英文名catalan number，是
組合數學
中乙個常出現在各種計數問題**現的
數列。由以
比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名，其前幾項為 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式
[1]：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另類遞推式
[2]：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
遞推關係的解為：
h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
遞推關係的另類解為：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1) (n=0,1,2,...)
問題等價於：n個1和n個0組成一2n位的2
進製數，要求從左到右掃瞄，1的累計數不小於0的累計數，試求滿足這條件的數有多少？
首先，我們設f（n）=序列個數為n的出棧序列種數。同時，我們假定，從開始到棧第一次出到空為止，這段過程**棧的序數最大的是k。特別地，如果棧直到整個過程結束時才空，則k=n
首次出空之前第乙個出棧的序數k將1~n的序列分成兩個序列，其中乙個是1~k-1，序列個數為k-1，另外乙個是k+1~n，序列個數是n-k。
此時，我們若把k視為確定乙個序數，那麼根據
乘法原理，f（n）的問題就等價於——序列個數為k-1的出棧序列種數乘以序列個數為n - k的出棧序列種數，即選擇k這個序數的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以選1到n，所以再根據
加法原理，將k取不同值的序列種數相加，得到的總序列種數為：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
看到此處，再看看卡特蘭數的遞推式，答案不言而喻，即為f（n）=h（n）= c（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=0，1，2，……）。
最後，令f（0）=1，f（1）=1。
代數證明：
設p2n為這樣所得的數的個數。在2n位上填入n個1的方案數為 c（n 2n）
不填1的其餘n位自動填以數0。從c（n 2n）中減去不符合要求的方案數即為所求。
不合要求的數指的是從左而右掃瞄，出現0的累計數超過1的累計數的數。
不合要求的數的特徵是從左而右掃瞄時，必然在某一
奇數2m+1位上首先出現m+1個0的累計數，和m個1的累計數。
此 後的2（n－m）－1位上有n－m個1，n－m－1個0。如若把後面這部分2（n－m）－1位，0與1交換，使之成為n－m個0，n－m－1個1，結果得 1個由n+1個0和n－1個1組成的2n位數，即乙個不合要求的數對應於乙個由n－1個1和n+1個0組成的乙個排列。
反過來，任何乙個 由n+1個0，n－1個1組成的2n位數，由於0的個數多2個，2n是偶數，故必在某乙個奇數字上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面的部分，令0 和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數。即n+1個0和n－1個1組成的2n位數，必對應於乙個不合要求的數。
用上述方法建立了由n+1個0和n－1個1組成的2n位數，與由n個0和n個1組成的2n位數中從左向右掃瞄出現0的累計數超過1的累計數的數一一對應。
例如 10100101
是由4個0和4個1組成的8位2
進製數。但從左而右掃瞄在第5位（顯示為紅色）出現0的累計數3超過1的累計數2，它對應於由3個1，5個0組成的10100010。
反過來 10100010
對應於 10100101
因而不合要求的2n位數與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應，故有
p2n = c（n 2n）— c（n+1 2n）
這個結果是乙個「卡塔蘭數」catalan
hdoj 2067
1 #include2 __int64 a[36];3view codeintmain()415
while(scanf("
%d",&n)!=eof&&n!=-1)16
19return0;
20 }
Catlan數之棧的出棧序列 legend
棧的出隊順序問題 一 catlan數 1 給出入棧序列，求出所有的出棧的序列個數 c 2n,n n 1 2 給出入棧序列，求出所有的出棧序列 1 舉例 1 2 3這三個數字，入棧並出棧共有5種方式，分別為 321 312 231 213 123。2 分析 1.可以用佇列 queue 來模擬輸入，佇列...
1330 出棧序列統計 卡特蘭數
題目描述 按照1,2,n 1,n的順序入棧，問可以得到多少種出棧序列。如n 3時有1 2 3，1 3 2，2 1 3，2 3 1，3 2 1共5種出棧序列。解題思路 設f n 為n個數時的方案數。可知 f 0 1 f 1 1 f 2 2 f 3 5 當n 4時 f1 f2 f3 f4 1 2 3 4...
可能的出棧序列問題
首先的前提是進棧一定是要按照順序進棧如1 2 3 4的順序，如果第乙個出的是4，那麼要依次先進棧1 2 3 4，然後出棧，這樣的話第乙個是4，沒有其他的元素可以再進棧了，所以只能按順序出棧，這樣出棧的順序就是4 3 2 1。假如出棧的順序是3 4 2 1，你就要先分析出3的情況，只有先將1 2 3入...