開始前先講一下對稱加密演算法和公鑰加密演算法（我不喜歡叫非對稱加密演算法，這使我想起那個被問md5演算法屬於對稱還是非對稱的恐懼）
對稱加密演算法
(1)甲方選擇某一種加密規則，對資訊進行加密；
(2)乙方使用同一種規則，對資訊進行解密。
公鑰加密演算法
(1)乙方生成兩把金鑰（公鑰和私鑰）。公鑰是公開的，任何人都可以獲得，私鑰則是保密的。
(2)甲方獲取乙方的公鑰，然後用它對資訊加密。
(3)乙方得到加密後的資訊，用私鑰解密。
在開始rsa之前先來補充一些數論知識
(1）互質關係
如果兩個正整數，除了1以外，沒有其他公因子，我們就稱這兩個數是互質關係（coprime）。比如，15和32沒有公因子，所以它們是互質關係。這說明，不是質數也可以構成互質關係。
任意兩個質數構成互質關係，比如13和61。
乙個數是質數，另乙個數只要不是前者的倍數，兩者就構成互質關係，比如3和10。
如果兩個數之中，較大的那個數是質數，則兩者構成互質關係，比如97和57。
1和任意乙個自然數是都是互質關係，比如1和99。
p是大於1的整數，則p和p-1構成互質關係，比如57和56。
p是大於1的奇數，則p和p-2構成互質關係，比如17和15。
(2）尤拉函式（這裡有乙個博主的解釋很好，以下引用了他的例子）
請思考以下問題：
任意給定正整數n，請問在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關係？（比如，在1到8之中，有多少個數與8構成互質關係？）計算這個值的方法就叫做尤拉函式，以φ(n)表示。在1到8之中，與8形成互質關係的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
φ(n) 的計算方法並不複雜，但是為了得到最後那個公式，需要一步步討論。
第一種情況
如果n=1，則 φ(1) = 1 。因為1與任何數（包括自身）都構成互質關係。
第二種情況
如果n是質數，則 φ(n)=n-1 。因為質數與小於它的每乙個數，都構成互質關係。比如5與1、2、3、4都構成互質關係。
第三種情況
如果n是質數的某乙個次方，即 n = p^k (p為質數，k為大於等於1的整數)，則
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。
這是因為只有當乙個數不包含質數p，才可能與n互質。而包含質數p的數一共有p(k-1)個，即1×p、2×p、3×p、…、p(k-1)×p，把它們去除，剩下的就是與n互質的數。
上面的式子還可以寫成下面的形式：
可以看出，上面的第二種情況是 k=1 時的特例。
第四種情況
如果n可以分解成兩個互質的整數之積，
n = p1 × p2則
φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)即積的尤拉函式等於各個因子的尤拉函式之積。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
這一條的證明要用到"中國剩餘定理"，這裡就不展開了，只簡單說一下思路：如果a與p1互質(a(3）尤拉定理
"尤拉定理"指的是：
如果兩個正整數a和n互質，則n的尤拉函式 φ(n) 可以讓下面的等式成立：也就是說，a的φ(n)次方被n除的餘數為1。或者說，a的φ(n)次方減去1，可以被n整除。比如，3和7互質，而7的尤拉函式φ(7)等於6，所以3的6次方（729）減去1，可以被7整除（728/7=104）。
尤拉定理的證明比較複雜，這裡就省略了。我們只要記住它的結論就行了。
尤拉定理可以大大簡化某些運算。比如，7和10互質，根據尤拉定理，
已知 φ(10) 等於4，所以馬上得到7的4倍數次方的個位數肯定是1。
因此，7的任意次方的個位數（例如7的222次方），心算就可以算出來。
尤拉定理有乙個特殊情況。(4）模反元素
如果兩個正整數a和n互質，那麼一定可以找到整數b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的餘數是1。比如，3和11互質，那麼3的模反元素就是4，因為 (3 × 4)-1 可以被11整除。顯然，模反元素不止乙個， 4加減11的整數倍都是3的模反元素 ，即如果b是a的模反元素，則 b+kn 都是a的模反元素。這時，b就叫做a的"模反元素"。
尤拉定理可以用來證明模反元素必然存在。
另外舉一下歐幾里得和擴充套件歐幾里得（ax+by=c）的例子
歐幾里得：
舉例： 105和85的最大公約數擴充套件歐幾里得：第一輪計算 105÷85=1…20
第二輪計算 85÷20=4…5
第三輪計算 20÷5=4
第三輪沒有餘數， 因此 105和85的最大公約數就是第三輪計算的被除數 5
舉個例子 11 = 1(mod 20)求11的逆元我們通過乙個例子，來理解rsa演算法。假設愛麗絲要與鮑勃進行加密通訊，她該怎麼生成公鑰和私鑰呢？20 = 1 * 11 + 9 //注釋：此時x1 = 1， a = 11，p = 20，p1 = 9，執行p = a，a = p1
11 = 1 * 9 + 2 //注釋：x2 = 1，a = 9，p2 = 2。
9 = 2 * 4 + 1 //注釋：p3 = 1，
1 = 9-2 * 4。
從上述式子中可以得知 9 = 20-11
1 = 20-11-2 * 4
同時 2 = 11 -9
1 = 20 -11 -4 * (11-9)
已知 9 = 20 - 11
1 = 20 -11 -4 * (11-(20-11))
1 = 20 -11 -4 * (11-20+11)
合併同類項得
1 = 5 * 20 - 9 * 11
1 = y * 20 + x * 11
x為a的逆元 x = -9
x對p取餘，x = 11
驗證 11 * 11 = 121，121 mod 20 = 6 — 1
第一步，隨機選擇兩個不相等的質數p和q。
愛麗絲選擇了61和53。（實際應用中，這兩個質數越大，就越難破解。）
第二步，計算p和q的乘積n。
愛麗絲就把61和53相乘。
n = 61×53 = 3233n的長度就是金鑰長度。3233寫成二進位制是110010100001，一共有12位，所以這個金鑰就是12位。實際應用中，rsa金鑰一般是1024位，重要場合則為2048位。
第三步，計算n的尤拉函式φ(n)。
根據公式：
φ(n) = (p-1)(q-1)愛麗絲算出φ(3233)等於60×52，即3120。
第四步，隨機選擇乙個整數e，條件是1< e < φ(n)，且e與φ(n) 互質。
愛麗絲就在1到3120之間，隨機選擇了17。（實際應用中，常常選擇65537。）
第五步，計算e對於φ(n)的模反元素d。
所謂"模反元素"就是指有乙個整數d，可以使得ed被φ(n)除的餘數為1。
ed ≡ 1 (mod φ(n))這個式子等價於
ex + φ(n)y = 1已知 e=17, φ(n)=3120
17x + 3120y = 1這個方程可以用"擴充套件歐幾里得演算法"求解，此處省略具體過程。總之，愛麗絲算出一組整數解為 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。
至此所有計算完成。
第六步，將n和e封裝成公鑰，n和d封裝成私鑰。
在愛麗絲的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公鑰就是 (3233,17)，私鑰就是（3233, 2753）。
公鑰用到了兩個（n和e），其餘四個數字都是不公開的。其中最關鍵的是d，因為n和d組成了私鑰，一旦d洩漏，就等於私鑰洩漏。
一、加密和解密
（1）加密要用公鑰 (n,e)
假設鮑勃要向愛麗絲傳送加密資訊m，他就要用愛麗絲的公鑰 (n,e) 對m進行加密。這裡需要注意，m必須是整數（字串可以取ascii值或unicode值），且m必須小於n。
所謂"加密"，就是算出下式的c：
me ≡ c (mod n)愛麗絲的公鑰是 (3233, 17)，鮑勃的m假設是65，那麼可以算出下面的等式：
6517 ≡ 2790 (mod 3233)於是，c等於2790，鮑勃就把2790發給了愛麗絲。
2）解密要用私鑰(n,d)
愛麗絲拿到鮑勃發來的2790以後，就用自己的私鑰(3233, 2753) 進行解密。可以證明，下面的等式一定成立：
cd ≡ m (mod n)也就是說，c的d次方除以n的餘數為m。現在，c等於2790，私鑰是(3233, 2753)，那麼，愛麗絲算出
27902753 ≡ 65 (mod 3233)因此，愛麗絲知道了鮑勃加密前的原文就是65。
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